Trigonometria Exemplos

$\cos (\frac{π}{12}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (- \frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 2

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{11 π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 5

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 5.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 8

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{\sqrt{18} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 9.2

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $9$ de $18$ .

$\frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 9.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 9.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 9.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{12}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10

O valor exato de $\sin (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10.7.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.7.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 10.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (- \frac{π}{6})$

Etapa 11

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{11 π}{6})$

Etapa 12

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 13

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$

Etapa 14

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 14.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}$

Etapa 15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$

Etapa 16

Reescreva $\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} - - \sqrt{2}}{8}$

Etapa 16.2

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 16.2.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}$

Etapa 16.3

Some $3 \sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + \sqrt{6} - \sqrt{6}}{8}$

Etapa 16.4

Subtraia $\sqrt{6}$ de $\sqrt{6}$ .

$\frac{4 \sqrt{2} + 0}{8}$

Etapa 16.5

Some $4 \sqrt{2}$ e $0$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 16.6

Reduza a expressão $\frac{4 \sqrt{2}}{8}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.6.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Etapa 16.6.2

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 16.6.3

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 16.6.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 17

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$