Trigonometria Exemplos

$(4 \sqrt{3} - 4 i) \cdot (8 i)$

Etapa 1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sqrt{3} (8 i) - 4 i (8 i)$

Etapa 2

Multiplique $8$ por $4$ .

$32 \sqrt{3} i - 4 i (8 i)$

Etapa 3

Multiplique $- 4 i (8 i)$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $8$ por $- 4$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i i$

Etapa 3.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i)$

Etapa 3.3

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 (i^{1} i^{1})$

Etapa 3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{1 + 1}$

Etapa 3.5

Some $1$ e $1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 i^{2}$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i - 32 \cdot - 1$

Etapa 4.2

Multiplique $- 32$ por $- 1$ .

$32 \sqrt{3} i + 32$

Etapa 5

Reordene $32 \sqrt{3} i$ e $32$ .

$32 + 32 \sqrt{3} i$

Etapa 6

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 7

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 8

Substitua os valores reais de $a = 32$ e $b = 32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{{(32 \sqrt{3})}^{2} + 32^{2}}$

Etapa 9

Encontre $| z |$ .

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Etapa 9.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $32 \sqrt{3}$ .

$| z | = \sqrt{32^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Etapa 9.1.2

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 {\sqrt{3}}^{2} + 32^{2}}$

Etapa 9.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 9.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$| z | = \sqrt{1024 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 32^{2}}$

Etapa 9.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 32^{2}}$

Etapa 9.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Etapa 9.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.4.1

Cancele o fator comum.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 32^{2}}$

Etapa 9.2.4.2

Reescreva a expressão.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Etapa 9.2.5

Avalie o expoente.

$| z | = \sqrt{1024 \cdot 3 + 32^{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $1024$ por $3$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 32^{2}}$

Etapa 9.3.2

Eleve $32$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{3072 + 1024}$

Etapa 9.3.3

Some $3072$ e $1024$ .

$| z | = \sqrt{4096}$

Etapa 9.3.4

Reescreva $4096$ como $64^{2}$ .

$| z | = \sqrt{64^{2}}$

Etapa 9.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 64$

Etapa 10

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{32 \sqrt{3}}{32})$

Etapa 11

Como a tangente inversa de $\frac{32 \sqrt{3}}{32}$ produz um ângulo no primeiro quadrante, o valor do ângulo é $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Etapa 12

Substitua os valores de $θ = \frac{π}{3}$ e $| z | = 64$ .

$64 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3}))$