Trigonometria Exemplos

${(- 1 - 2 i)}^{6}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

${(- 1)}^{6} + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$1 + 6 {(- 1)}^{5} (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$1 + 6 \cdot - 1 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$1 - 6 (- 2 i) + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$1 + 12 i + 15 {(- 1)}^{4} {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 + 12 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.6

Multiplique $15$ por $1$ .

$1 + 12 i + 15 {(- 2 i)}^{2} + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.7

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$1 + 12 i + 15 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.8

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$1 + 12 i + 15 (4 i^{2}) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.9

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 12 i + 15 (4 \cdot - 1) + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.10

Multiplique $15 (4 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$1 + 12 i + 15 \cdot - 4 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.10.2

Multiplique $15$ por $- 4$ .

$1 + 12 i - 60 + 20 {(- 1)}^{3} {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.11

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 + 12 i - 60 + 20 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.12

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 {(- 2 i)}^{3} + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.13

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.14

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 i^{3}) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.15

Fatore $i^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.16

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.17

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (- 8 (- i)) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.18

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$1 + 12 i - 60 - 20 (8 i) + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.19

Multiplique $8$ por $- 20$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 1)}^{2} {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.20

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 1 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.21

Multiplique $15$ por $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 {(- 2 i)}^{4} + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.22

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.23

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 i^{4}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.24

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.24.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(i^{2})}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.24.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 {(- 1)}^{2}) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.24.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 (16 \cdot 1) + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.25

Multiplique $15 (16 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.25.1

Multiplique $16$ por $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 15 \cdot 16 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.25.2

Multiplique $15$ por $16$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 6 \cdot - 1 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.26

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 {(- 2 i)}^{5} + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.27

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 ({(- 2)}^{5} i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.28

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i^{5}) + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.29

Fatore $i^{4}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (i^{4} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.30

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.30.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(i^{2})}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.30.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 ({(- 1)}^{2} i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.30.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 (1 i)) + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.31

Multiplique $i$ por $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 - 6 (- 32 i) + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.32

Multiplique $- 32$ por $- 6$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2 i)}^{6}$

Etapa 2.1.33

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + {(- 2)}^{6} i^{6}$

Etapa 2.1.34

Eleve $- 2$ à potência de $6$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{6}$

Etapa 2.1.35

Fatore $i^{4}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (i^{4} i^{2})$

Etapa 2.1.36

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.36.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(i^{2})}^{2} i^{2})$

Etapa 2.1.36.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 ({(- 1)}^{2} i^{2})$

Etapa 2.1.36.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 (1 i^{2})$

Etapa 2.1.37

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 i^{2}$

Etapa 2.1.38

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i + 64 \cdot - 1$

Etapa 2.1.39

Multiplique $64$ por $- 1$ .

$1 + 12 i - 60 - 160 i + 240 + 192 i - 64$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $60$ de $1$ .

$- 59 + 12 i - 160 i + 240 + 192 i - 64$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Some $- 59$ e $240$ .

$181 + 12 i - 160 i + 192 i - 64$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $64$ de $181$ .

$117 + 12 i - 160 i + 192 i$

Etapa 2.2.3

Subtraia $160 i$ de $12 i$ .

$117 - 148 i + 192 i$

Etapa 2.2.4

Some $- 148 i$ e $192 i$ .

$117 + 44 i$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = 117$ e $b = 44$ .

$| z | = \sqrt{44^{2} + 117^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Eleve $44$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{1936 + 117^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $117$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{1936 + 13689}$

Etapa 6.3

Some $1936$ e $13689$ .

$| z | = \sqrt{15625}$

Etapa 6.4

Reescreva $15625$ como $125^{2}$ .

$| z | = \sqrt{125^{2}}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| z | = 125$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{44}{117})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{44}{117}$ produz um ângulo no primeiro quadrante, o valor do ângulo é $0.35970699$ .

$θ = 0.35970699$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = 0.35970699$ e $| z | = 125$ .

$125 (\cos (0.35970699) + i \sin (0.35970699))$