Trigonometria Exemplos

$\sin (3 x)$

Etapa 1

Um bom método para expandir $\sin (3 x)$ é usando o teorema de De Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Quando $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Etapa 2

Expanda o lado direito de $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ usando o teorema binomial.

Expandir: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{3}$

Etapa 3

Use o teorema binomial.

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) (i \sin (x)) + 3 \cos (x) {(i \sin (x))}^{2} + {(i \sin (x))}^{3}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a regra do produto a $i \sin (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (i^{2} \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (- 1 \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Etapa 4.1.3

Reescreva $- 1 \sin^{2} (x)$ como $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) + 3 \cos (x) (- \sin^{2} (x)) + {(i \sin (x))}^{3}$

Etapa 4.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + {(i \sin (x))}^{3}$

Etapa 4.1.5

Aplique a regra do produto a $i \sin (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + i^{3} \sin^{3} (x)$

Etapa 4.1.6

Fatore $i^{2}$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) + i^{2} \cdot i \sin^{3} (x)$

Etapa 4.1.7

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - 1 \cdot i \sin^{3} (x)$

Etapa 4.1.8

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

Etapa 4.2

Reordene os fatores em $\cos^{3} (x) + 3 \cos^{2} (x) i \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$ .

$\cos^{3} (x) + 3 i \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \cos (x) \sin^{2} (x) - i \sin^{3} (x)$

Etapa 5

Retire as expressões com a parte imaginária, que são iguais a $\sin (3 x)$ . Remova o número imaginário $i$ .

$\sin (3 x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)$