Trigonometria Exemplos

$y = \frac{1}{3} \cdot \sin (x + \frac{π}{6}) - \frac{1}{2}$

Etapa 1

Use a forma $a \sin (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = \frac{1}{3}$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{6}$

$d = - \frac{1}{2}$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $\frac{1}{3}$

Etapa 3

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o período de $\frac{\sin (x + \frac{π}{6})}{3}$ .

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Etapa 3.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.1.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.1.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.2

Encontre o período de $- \frac{1}{2}$ .

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Etapa 3.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 3.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 3.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$2 π$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{- \frac{π}{6}}{1}$

Etapa 4.3

Divida $- \frac{π}{6}$ por $1$ .

Mudança de fase: $- \frac{π}{6}$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $\frac{1}{3}$

Período: $2 π$

Mudança de fase: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $- \frac{1}{2}$

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

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Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{π}{6}$ na expressão.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{\sin ((- \frac{π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Some $- \frac{π}{6}$ e $\frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.1.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.1.2.2.2

Divida $0$ por $3$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

Etapa 6.1.2.3

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$f (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.1.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = \frac{π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{π}{3}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Para escrever $\frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2}{6} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π \cdot 2 + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.4

Some $π \cdot 2$ e $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.4.1

Reordene $π$ e $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{2 \cdot π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.4.2

Some $2 \cdot π$ e $π$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 \cdot π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1.1

Fatore $3$ de $3 \cdot π$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.5.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.5.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.6

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.7

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6.2.2.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.8.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6.2.2.8.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6.2.2.8.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.2.2.8.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2}{6} - \frac{3}{6}$

Etapa 6.2.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{2 - 3}{6}$

Etapa 6.2.2.10

Subtraia $3$ de $2$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{- 1}{6}$

Etapa 6.2.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{6}$

Etapa 6.2.2.12

A resposta final é $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = \frac{5 π}{6}$ .

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Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin ((\frac{5 π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{5 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Some $5 π$ e $π$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (π)}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2.2.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2.2.3

Divida $0$ por $3$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2.3

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.3.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = \frac{4 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin ((\frac{4 π}{3}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Para escrever $\frac{4 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Multiplique $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2}{6} + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{4 π \cdot 2 + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.4.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{8 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.4.1.2

Some $8 π$ e $π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{9 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $9$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.4.2.1.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.4.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.4.2.1.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.4.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.4.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{\sin (\frac{3 π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.4.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- \sin (\frac{π}{2})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.4.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1 \cdot 1}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.4.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 1}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.5

Para escrever $- \frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.6

Para escrever $- \frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6.4.2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.7.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6.4.2.7.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6.4.2.7.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{3}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.4.2.7.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{2}{6} - \frac{3}{6}$

Etapa 6.4.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 2 - 3}{6}$

Etapa 6.4.2.9

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{- 5}{6}$

Etapa 6.4.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{4 π}{3}) = - \frac{5}{6}$

Etapa 6.4.2.11

A resposta final é $- \frac{5}{6}$ .

$- \frac{5}{6}$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = \frac{11 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{11 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin ((\frac{11 π}{6}) + \frac{π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{11 π + π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.1.2

Some $11 π$ e $π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{12 π}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $12$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1.1

Fatore $6$ de $12 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6 (1)})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{6 (2 π)}{6 \cdot 1})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (\frac{2 π}{1})}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.1.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (2 π)}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sin (0)}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{0}{3} - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.2.3

Divida $0$ por $3$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = 0 - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.3

Subtraia $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = - \frac{1}{2}$

Etapa 6.5.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{6} & - \frac{1}{2} \\ \frac{π}{3} & - \frac{1}{6} \\ \frac{5 π}{6} & - \frac{1}{2} \\ \frac{4 π}{3} & - \frac{5}{6} \\ \frac{11 π}{6} & - \frac{1}{2} \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $\frac{1}{3}$

Período: $2 π$

Mudança de fase: $- \frac{π}{6}$ ( $\frac{π}{6}$ para a esquerda)

Deslocamento vertical: $- \frac{1}{2}$

Etapa 8