Trigonometria Exemplos

$y = \frac{4}{3} \cdot \sin (\frac{2}{3} x)$

Etapa 1

Use a forma $a \sin (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = \frac{4}{3}$

$b = \frac{2}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

Etapa 2

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $\frac{4}{3}$

Etapa 3

Encontre o período de $\frac{4 \sin (\frac{2 x}{3})}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 3.2

Substitua $b$ por $\frac{2}{3}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

Etapa 3.3

$\frac{2}{3}$ é aproximadamente $0.\overline{6}$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{3}{2}$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{2}$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum.

$2 π \frac{3}{2}$

Etapa 3.5.3

Reescreva a expressão.

$π \cdot 3$

Etapa 3.6

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$3 π$

Etapa 4

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 4.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{0}{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $0 (\frac{3}{2})$

Etapa 4.4

Multiplique $0$ por $\frac{3}{2}$ .

Mudança de fase: $0$

Etapa 5

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $\frac{4}{3}$

Período: $3 π$

Mudança de fase: nenhuma

Deslocamento vertical: nenhum

Etapa 6

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Encontre o ponto em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{4 \sin (\frac{2 (0)}{3})}{3}$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Fatore $3$ de $2 (0)$ .

$f (0) = \frac{4 \sin (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3})}{3}$

Etapa 6.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (0) = \frac{4 \sin (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 (1)})}{3}$

Etapa 6.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (0) = \frac{4 \sin (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 \cdot 1})}{3}$

Etapa 6.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (0) = \frac{4 \sin (\frac{2 \cdot (0)}{1})}{3}$

Etapa 6.1.2.1.2.4

Divida $2 \cdot (0)$ por $1$ .

$f (0) = \frac{4 \sin (2 \cdot (0))}{3}$

Etapa 6.1.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = \frac{4 \sin (0)}{3}$

Etapa 6.1.2.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (0) = \frac{4 \cdot 0}{3}$

Etapa 6.1.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0}{3}$

Etapa 6.1.2.3.2

Divida $0$ por $3$ .

$f (0) = 0$

Etapa 6.1.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.2

Encontre o ponto em $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3})}{3}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Combine $2$ e $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})}{3}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})}{3}$

Etapa 6.2.2.3

Reduza a expressão $\frac{6 π}{4}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Fatore $2$ de $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})}{3}$

Etapa 6.2.2.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})}{3}$

Etapa 6.2.2.3.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})}{3}$

Etapa 6.2.2.3.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})}{3}$

Etapa 6.2.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.4.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Etapa 6.2.2.4.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.4.2.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Etapa 6.2.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Etapa 6.2.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{π}{2})}{3}$

Etapa 6.2.2.4.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4 \cdot 1}{3}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{4}{3}$

Etapa 6.2.2.6

A resposta final é $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 6.3

Encontre o ponto em $x = \frac{3 π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{4 \sin (\frac{2 (\frac{3 π}{2})}{3})}{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})}{3}$

Etapa 6.3.2.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{6 π}{2}}{3})}{3}$

Etapa 6.3.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Reduza a expressão $\frac{6 π}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1.1

Fatore $2$ de $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})}{3}$

Etapa 6.3.2.3.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3})}{3}$

Etapa 6.3.2.3.1.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3})}{3}$

Etapa 6.3.2.3.1.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})}{3}$

Etapa 6.3.2.3.2

Divida $3 π$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{4 \sin (\frac{3 π}{3})}{3}$

Etapa 6.3.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.4.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.4.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{4 \sin (\frac{3 π}{3})}{3}$

Etapa 6.3.2.4.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{4 \sin (π)}{3}$

Etapa 6.3.2.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{4 \sin (0)}{3}$

Etapa 6.3.2.4.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{4 \cdot 0}{3}$

Etapa 6.3.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.5.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = \frac{0}{3}$

Etapa 6.3.2.5.2

Divida $0$ por $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Etapa 6.3.2.6

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.4

Encontre o ponto em $x = \frac{9 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{9 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3})}{3}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Combine $2$ e $\frac{9 π}{4}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})}{3}$

Etapa 6.4.2.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})}{3}$

Etapa 6.4.2.3

Reduza a expressão $\frac{18 π}{4}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.3.1

Fatore $2$ de $18 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})}{3}$

Etapa 6.4.2.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})}{3}$

Etapa 6.4.2.3.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})}{3}$

Etapa 6.4.2.3.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})}{3}$

Etapa 6.4.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.4.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Etapa 6.4.2.4.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.4.2.1

Fatore $3$ de $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Etapa 6.4.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})}{3}$

Etapa 6.4.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 \sin (\frac{3 π}{2})}{3}$

Etapa 6.4.2.4.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 (- \sin (\frac{π}{2}))}{3}$

Etapa 6.4.2.4.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 (- 1 \cdot 1)}{3}$

Etapa 6.4.2.4.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Etapa 6.4.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.5.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = \frac{- 4}{3}$

Etapa 6.4.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{9 π}{4}) = - \frac{4}{3}$

Etapa 6.4.2.6

A resposta final é $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{4}{3}$

Etapa 6.5

Encontre o ponto em $x = 3 π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Substitua a variável $x$ por $3 π$ na expressão.

$f (3 π) = \frac{4 \sin (\frac{2 (3 π)}{3})}{3}$

Etapa 6.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f (3 π) = \frac{4 \sin (\frac{2 (3 π)}{3})}{3}$

Etapa 6.5.2.1.2

Divida $2 (π)$ por $1$ .

$f (3 π) = \frac{4 \sin (2 (π))}{3}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (3 π) = \frac{4 \sin (0)}{3}$

Etapa 6.5.2.2.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (3 π) = \frac{4 \cdot 0}{3}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$f (3 π) = \frac{0}{3}$

Etapa 6.5.2.3.2

Divida $0$ por $3$ .

$f (3 π) = 0$

Etapa 6.5.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{3 π}{4} & \frac{4}{3} \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ \frac{9 π}{4} & - \frac{4}{3} \\ 3 π & 0 \end{array}$

Etapa 7

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $\frac{4}{3}$

Período: $3 π$

Mudança de fase: nenhuma

Deslocamento vertical: nenhum

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & 0 \\ \frac{3 π}{4} & \frac{4}{3} \\ \frac{3 π}{2} & 0 \\ \frac{9 π}{4} & - \frac{4}{3} \\ 3 π & 0 \end{array}$

Etapa 8