Trigonometria Exemplos

$y = 1 + 3 \sin (2 x - \frac{π}{2})$

Etapa 1

Reescreva a expressão como $3 \sin (2 x - \frac{π}{2}) + 1$ .

$3 \sin (2 x - \frac{π}{2}) + 1$

Etapa 2

Use a forma $a \sin (b x - c) + d$ para encontrar as variáveis usadas para encontrar a amplitude, o período, a mudança de fase e o deslocamento vertical.

$a = 3$

$b = 2$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 1$

Etapa 3

Encontre a amplitude $| a |$ .

Amplitude: $3$

Etapa 4

Encontre o período usando a fórmula $\frac{2 π}{| b |}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre o período de $3 \sin (2 x - \frac{π}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.1.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 4.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 4.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 4.1.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2

Encontre o período de $1$ .

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Etapa 4.2.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 4.2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 4.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.3

O período de adição/subtração das funções trigonométricas é o máximo dos períodos individuais.

$π$

Etapa 5

Encontre a mudança de fase usando a fórmula $\frac{c}{b}$ .

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Etapa 5.1

A mudança de fase da função pode ser calculada a partir de $\frac{c}{b}$ .

Mudança de fase: $\frac{c}{b}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $c$ e $b$ na equação para mudança de fase.

Mudança de fase: $\frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

Mudança de fase: $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 5.4

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

Mudança de fase: $\frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

Mudança de fase: $\frac{π}{4}$

Etapa 6

Liste as propriedades da função trigonométrica.

Amplitude: $3$

Período: $π$

Mudança de fase: $\frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ para a direita)

Deslocamento vertical: $1$

Etapa 7

Selecione alguns pontos para representar em gráfico.

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Etapa 7.1

Encontre o ponto em $x = \frac{π}{4}$ .

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Etapa 7.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{4}) - \frac{π}{2})$

Etapa 7.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}) - \frac{π}{2})$

Etapa 7.1.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 7.1.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{π}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 7.1.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{π - π}{2})$

Etapa 7.1.2.1.3

Subtraia $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{0}{2})$

Etapa 7.1.2.1.4

Divida $0$ por $2$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \sin (0)$

Etapa 7.1.2.1.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 3 \cdot 0$

Etapa 7.1.2.1.6

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1 + 0$

Etapa 7.1.2.2

Some $1$ e $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = 1$

Etapa 7.1.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 7.2

Encontre o ponto em $x = \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 7.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{π}{2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 7.2.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (π - \frac{π}{2})$

Etapa 7.2.2.1.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 7.2.2.1.3

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 7.2.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (\frac{π \cdot 2 - π}{2})$

Etapa 7.2.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 \cdot π - π}{2})$

Etapa 7.2.2.1.5.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 7.2.2.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3 \cdot 1$

Etapa 7.2.2.1.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1 + 3$

Etapa 7.2.2.2

Some $1$ e $3$ .

$f (\frac{π}{2}) = 4$

Etapa 7.2.2.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 7.3

Encontre o ponto em $x = \frac{3 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{4}) - \frac{π}{2})$

Etapa 7.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}) - \frac{π}{2})$

Etapa 7.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 7.3.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 7.3.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π - π}{2})$

Etapa 7.3.2.1.3

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{2})$

Etapa 7.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{2})$

Etapa 7.3.2.1.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (π)$

Etapa 7.3.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \sin (0)$

Etapa 7.3.2.1.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 3 \cdot 0$

Etapa 7.3.2.1.7

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1 + 0$

Etapa 7.3.2.2

Some $1$ e $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 1$

Etapa 7.3.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 7.4

Encontre o ponto em $x = π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = 1 + 3 \sin (2 (π) - \frac{π}{2})$

Etapa 7.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 1 + 3 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 7.4.2.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 7.4.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (π) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2})$

Etapa 7.4.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (π) = 1 + 3 \sin (\frac{4 π - π}{2})$

Etapa 7.4.2.1.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$f (π) = 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 7.4.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (π) = 1 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 7.4.2.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (π) = 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 7.4.2.1.7

Multiplique $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 1 + 3 \cdot - 1$

Etapa 7.4.2.1.7.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (π) = 1 - 3$

Etapa 7.4.2.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f (π) = - 2$

Etapa 7.4.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 7.5

Encontre o ponto em $x = \frac{5 π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{4}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{5 π}{4}) - \frac{π}{2})$

Etapa 7.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{5 π}{2 (2)}) - \frac{π}{2})$

Etapa 7.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 2}) - \frac{π}{2})$

Etapa 7.5.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{5 π}{2} - \frac{π}{2})$

Etapa 7.5.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{5 π - π}{2})$

Etapa 7.5.2.1.3

Subtraia $π$ de $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{4 π}{2})$

Etapa 7.5.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1.4.1

Fatore $2$ de $4 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 (2 π)}{2})$

Etapa 7.5.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 (1)})$

Etapa 7.5.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1})$

Etapa 7.5.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{1})$

Etapa 7.5.2.1.4.2.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (2 π)$

Etapa 7.5.2.1.5

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \sin (0)$

Etapa 7.5.2.1.6

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 3 \cdot 0$

Etapa 7.5.2.1.7

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1 + 0$

Etapa 7.5.2.2

Some $1$ e $0$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = 1$

Etapa 7.5.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 7.6

Liste os pontos em uma tabela.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{4} & 1 \\ \frac{π}{2} & 4 \\ \frac{3 π}{4} & 1 \\ π & - 2 \\ \frac{5 π}{4} & 1 \end{array}$

Etapa 8

A função trigonométrica pode ser representada no gráfico usando a amplitude, o período, a mudança de fase, o deslocamento vertical e os pontos.

Amplitude: $3$

Período: $π$

Mudança de fase: $\frac{π}{4}$ ( $\frac{π}{4}$ para a direita)

Deslocamento vertical: $1$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{π}{4} & 1 \\ \frac{π}{2} & 4 \\ \frac{3 π}{4} & 1 \\ π & - 2 \\ \frac{5 π}{4} & 1 \end{array}$

Etapa 9