Trigonometria Exemplos

${(1 - i)}^{5}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

$1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.6

Multiplique $10$ por $1$ .

$1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.7

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.9

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.10

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.11

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.12

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.13

Multiplique $10$ por $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.14

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.16

Fatore $i^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.17

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.18

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.19

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.20

Multiplique $i$ por $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.21

Multiplique $5$ por $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.22

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.23

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.24

Multiplique $i^{4}$ por $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.25

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

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Etapa 2.1.25.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.25.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.25.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.26

Multiplique $5$ por $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5}$

Etapa 2.1.27

Aplique a regra do produto a $- i$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5}$

Etapa 2.1.28

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5}$

Etapa 2.1.29

Fatore $i^{4}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i)$

Etapa 2.1.30

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

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Etapa 2.1.30.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i)$

Etapa 2.1.30.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i)$

Etapa 2.1.30.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i)$

Etapa 2.1.31

Multiplique $i$ por $1$ .

$1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $10$ de $1$ .

$- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i$

Etapa 2.2.2

Some $- 9$ e $5$ .

$- 4 - 5 i + 10 i - i$

Etapa 2.2.3

Some $- 5 i$ e $10 i$ .

$- 4 + 5 i - i$

Etapa 2.2.4

Subtraia $i$ de $5 i$ .

$- 4 + 4 i$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = - 4$ e $b = 4$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} + {(- 4)}^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

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Etapa 6.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16}$

Etapa 6.3

Some $16$ e $16$ .

$| z | = \sqrt{32}$

Etapa 6.4

Reescreva $32$ como $4^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 6.4.1

Fatore $16$ de $32$ .

$| z | = \sqrt{16 (2)}$

Etapa 6.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$| z | = \sqrt{4^{2} \cdot 2}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| z | = 4 \sqrt{2}$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{4}{- 4})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{4}{- 4}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = \frac{3 π}{4}$ e $| z | = 4 \sqrt{2}$ .

$4 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$