Trigonometria Exemplos

${(2 - 2 i)}^{5}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

$2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$32 + 5 \cdot 2^{4} (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$32 + 5 \cdot 16 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.3

Multiplique $5$ por $16$ .

$32 + 80 (- 2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $- 2$ por $80$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$32 - 160 i + 10 \cdot 8 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.6

Multiplique $10$ por $8$ .

$32 - 160 i + 80 {(- 2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.7

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$32 - 160 i + 80 ({(- 2)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.8

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$32 - 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.9

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.10

Multiplique $80 (4 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$32 - 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.10.2

Multiplique $80$ por $- 4$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.12

Multiplique $10$ por $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 {(- 2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.13

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 ({(- 2)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.14

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.15

Fatore $i^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.16

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.17

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (- 8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.18

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$32 - 160 i - 320 + 40 (8 i) + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.19

Multiplique $8$ por $40$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 5 \cdot 2 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.20

Multiplique $5$ por $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 {(- 2 i)}^{4} + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.21

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 ({(- 2)}^{4} i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.22

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.23

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.23.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.23.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.23.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.24

Multiplique $10 (16 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.24.1

Multiplique $16$ por $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 10 \cdot 16 + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.24.2

Multiplique $10$ por $16$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2 i)}^{5}$

Etapa 2.1.25

Aplique a regra do produto a $- 2 i$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 + {(- 2)}^{5} i^{5}$

Etapa 2.1.26

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i^{5}$

Etapa 2.1.27

Fatore $i^{4}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (i^{4} i)$

Etapa 2.1.28

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.28.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(i^{2})}^{2} i)$

Etapa 2.1.28.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 ({(- 1)}^{2} i)$

Etapa 2.1.28.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 (1 i)$

Etapa 2.1.29

Multiplique $i$ por $1$ .

$32 - 160 i - 320 + 320 i + 160 - 32 i$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $320$ de $32$ .

$- 288 - 160 i + 320 i + 160 - 32 i$

Etapa 2.2.2

Some $- 288$ e $160$ .

$- 128 - 160 i + 320 i - 32 i$

Etapa 2.2.3

Some $- 160 i$ e $320 i$ .

$- 128 + 160 i - 32 i$

Etapa 2.2.4

Subtraia $32 i$ de $160 i$ .

$- 128 + 128 i$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = - 128$ e $b = 128$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} + {(- 128)}^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Eleve $128$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + {(- 128)}^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $- 128$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{16384 + 16384}$

Etapa 6.3

Some $16384$ e $16384$ .

$| z | = \sqrt{32768}$

Etapa 6.4

Reescreva $32768$ como $128^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $16384$ de $32768$ .

$| z | = \sqrt{16384 (2)}$

Etapa 6.4.2

Reescreva $16384$ como $128^{2}$ .

$| z | = \sqrt{128^{2} \cdot 2}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| z | = 128 \sqrt{2}$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{128}{- 128})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{128}{- 128}$ produz um ângulo no segundo quadrante, o valor do ângulo é $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = \frac{3 π}{4}$ e $| z | = 128 \sqrt{2}$ .

$128 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$