Trigonometria Exemplos

${(4 + 4 i)}^{7}$

Etapa 1

Use o teorema binomial.

$4^{7} + 7 \cdot 4^{6} (4 i) + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Eleve $4$ à potência de $7$ .

$16384 + 7 \cdot 4^{6} (4 i) + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $4^{6}$ por $4$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Mova $4$ .

$16384 + 7 \cdot (4 \cdot 4^{6}) i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $4$ por $4^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$16384 + 7 \cdot (4^{1} \cdot 4^{6}) i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16384 + 7 \cdot 4^{1 + 6} i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.2.3

Some $1$ e $6$ .

$16384 + 7 \cdot 4^{7} i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.3

Eleve $4$ à potência de $7$ .

$16384 + 7 \cdot 16384 i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $7$ por $16384$ .

$16384 + 114688 i + 21 \cdot 4^{5} {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.5

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$16384 + 114688 i + 21 \cdot 1024 {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.6

Multiplique $21$ por $1024$ .

$16384 + 114688 i + 21504 {(4 i)}^{2} + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.7

Aplique a regra do produto a $4 i$ .

$16384 + 114688 i + 21504 (4^{2} i^{2}) + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.8

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$16384 + 114688 i + 21504 (16 i^{2}) + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.9

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i + 21504 (16 \cdot - 1) + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.10

Multiplique $21504 (16 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.10.1

Multiplique $16$ por $- 1$ .

$16384 + 114688 i + 21504 \cdot - 16 + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.10.2

Multiplique $21504$ por $- 16$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 35 \cdot 4^{4} {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.11

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 35 \cdot 256 {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.12

Multiplique $35$ por $256$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 {(4 i)}^{3} + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.13

Aplique a regra do produto a $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (4^{3} i^{3}) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.14

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 i^{3}) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.15

Fatore $i^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 (i^{2} \cdot i)) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.16

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 (- 1 \cdot i)) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.17

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (64 (- i)) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.18

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$16384 + 114688 i - 344064 + 8960 (- 64 i) + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.19

Multiplique $- 64$ por $8960$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 35 \cdot 4^{3} {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.20

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 35 \cdot 64 {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.21

Multiplique $35$ por $64$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 {(4 i)}^{4} + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.22

Aplique a regra do produto a $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (4^{4} i^{4}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.23

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 i^{4}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.24

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.24.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 {(i^{2})}^{2}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.24.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 {(- 1)}^{2}) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.24.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 (256 \cdot 1) + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.25

Multiplique $2240 (256 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.25.1

Multiplique $256$ por $1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 2240 \cdot 256 + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.25.2

Multiplique $2240$ por $256$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 21 \cdot 4^{2} {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.26

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 21 \cdot 16 {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.27

Multiplique $21$ por $16$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 {(4 i)}^{5} + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.28

Aplique a regra do produto a $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (4^{5} i^{5}) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.29

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 i^{5}) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.30

Fatore $i^{4}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 (i^{4} i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.31

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.31.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 ({(i^{2})}^{2} i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.31.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 ({(- 1)}^{2} i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.31.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 (1 i)) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.32

Multiplique $i$ por $1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 336 (1024 i) + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.33

Multiplique $1024$ por $336$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 7 \cdot 4 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.34

Multiplique $7$ por $4$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 {(4 i)}^{6} + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.35

Aplique a regra do produto a $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4^{6} i^{6}) + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.36

Eleve $4$ à potência de $6$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 i^{6}) + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.37

Fatore $i^{4}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 (i^{4} i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.38

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.38.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 ({(i^{2})}^{2} i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.38.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 ({(- 1)}^{2} i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.38.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 (1 i^{2})) + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.39

Multiplique $i^{2}$ por $1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 i^{2}) + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.40

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 (4096 \cdot - 1) + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.41

Multiplique $28 (4096 \cdot - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.41.1

Multiplique $4096$ por $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i + 28 \cdot - 4096 + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.41.2

Multiplique $28$ por $- 4096$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + {(4 i)}^{7}$

Etapa 2.1.42

Aplique a regra do produto a $4 i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 4^{7} i^{7}$

Etapa 2.1.43

Eleve $4$ à potência de $7$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 i^{7}$

Etapa 2.1.44

Reescreva $i^{7}$ como $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.44.1

Fatore $i^{4}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (i^{4} i^{3})$

Etapa 2.1.44.2

Fatore $i^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (i^{4} (i^{2} \cdot i))$

Etapa 2.1.45

Reescreva $i^{4}$ como $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.45.1

Reescreva $i^{4}$ como ${(i^{2})}^{2}$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Etapa 2.1.45.2

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i))$

Etapa 2.1.45.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (1 (i^{2} \cdot i))$

Etapa 2.1.46

Multiplique $i^{2} \cdot i$ por $1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (i^{2} \cdot i)$

Etapa 2.1.47

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (- 1 \cdot i)$

Etapa 2.1.48

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 + 16384 (- i)$

Etapa 2.1.49

Multiplique $- 1$ por $16384$ .

$16384 + 114688 i - 344064 - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 - 16384 i$

Etapa 2.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Subtraia $344064$ de $16384$ .

$- 327680 + 114688 i - 573440 i + 573440 + 344064 i - 114688 - 16384 i$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Some $- 327680$ e $573440$ .

$245760 + 114688 i - 573440 i + 344064 i - 114688 - 16384 i$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $114688$ de $245760$ .

$131072 + 114688 i - 573440 i + 344064 i - 16384 i$

Etapa 2.2.3

Subtraia $573440 i$ de $114688 i$ .

$131072 - 458752 i + 344064 i - 16384 i$

Etapa 2.2.4

Some $- 458752 i$ e $344064 i$ .

$131072 - 114688 i - 16384 i$

Etapa 2.2.5

Subtraia $16384 i$ de $- 114688 i$ .

$131072 - 131072 i$

Etapa 3

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 4

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 5

Substitua os valores reais de $a = 131072$ e $b = - 131072$ .

$| z | = \sqrt{{(- 131072)}^{2} + 131072^{2}}$

Etapa 6

Encontre $| z |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Eleve $- 131072$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{17179869184 + 131072^{2}}$

Etapa 6.2

Eleve $131072$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{17179869184 + 17179869184}$

Etapa 6.3

Some $17179869184$ e $17179869184$ .

$| z | = \sqrt{34359738368}$

Etapa 6.4

Reescreva $34359738368$ como $131072^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $17179869184$ de $34359738368$ .

$| z | = \sqrt{17179869184 (2)}$

Etapa 6.4.2

Reescreva $17179869184$ como $131072^{2}$ .

$| z | = \sqrt{131072^{2} \cdot 2}$

Etapa 6.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| z | = 131072 \sqrt{2}$

Etapa 7

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 131072}{131072})$

Etapa 8

Como a tangente inversa de $\frac{- 131072}{131072}$ produz um ângulo no quarto quadrante, o valor do ângulo é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 9

Substitua os valores de $θ = - \frac{π}{4}$ e $| z | = 131072 \sqrt{2}$ .

$131072 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$