Trigonometria Exemplos

$\tan (x) < 0$ , $\sin (x) < 0$

Etapa 1

Simplifique a primeira desigualdade.

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Etapa 1.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x < \arctan (0)$ ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x < 0$ ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$ ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.4

Some $π$ e $0$ .

$x = π$ ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 1.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 1.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 1.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 1.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.7

Consolide as respostas.

$x = π n$ ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.8

Encontre o domínio de $\tan (x)$ .

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Etapa 1.8.1

Defina o argumento em $\tan (x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.8.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$ ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.10.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1$ ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.10.1.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\tan (1) < 0$ ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.10.1.3

O lado esquerdo $1.55740772$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.10.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$ ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.10.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\tan (2) < 0$ ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.10.2.3

O lado esquerdo $- 2.18503986$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.10.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < π$ Verdadeiro ou $\sin (x) < 0$

$0 < x < \frac{π}{2}$ Falso

$\frac{π}{2} < x < π$ Verdadeiro ou $\sin (x) < 0$

Etapa 1.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $\sin (x) < 0$

Etapa 2

Simplifique a segunda desigualdade.

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Etapa 2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $x < \arcsin (0)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $x < 0$

Etapa 2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $x = π - 0$

Etapa 2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $x = π$

Etapa 2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $x = 2 π n, π + 2 π n$

Etapa 2.7

Consolide as respostas.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $x = π n$

Etapa 2.8

Encontre o domínio de $\tan (x)$ .

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Etapa 2.8.1

Defina o argumento em $\tan (x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.8.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

$π < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$

Etapa 2.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 2.10.1

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $x = 1$

Etapa 2.10.1.2

Substitua $x$ por $1$ na desigualdade original.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $\tan (1) < 0$

Etapa 2.10.1.3

O lado esquerdo $1.55740772$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ or False

Etapa 2.10.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $x = 2$

Etapa 2.10.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $\tan (2) < 0$

Etapa 2.10.2.3

O lado esquerdo $- 2.18503986$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ or True

Etapa 2.10.3

Teste um valor no intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $π < x < \frac{3 π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $x = 4$

Etapa 2.10.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $\tan (4) < 0$

Etapa 2.10.3.3

O lado esquerdo $1.15782128$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ or False

Etapa 2.10.4

Teste um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 2.10.4.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $x = 5$

Etapa 2.10.4.2

Substitua $x$ por $5$ na desigualdade original.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $\tan (5) < 0$

Etapa 2.10.4.3

O lado esquerdo $- 3.380515$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ or True

Etapa 2.10.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ or $0 < x < \frac{π}{2}$ False

$\frac{π}{2} < x < π$ Verdadeiro

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Falso

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Verdadeiro

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ or $0 < x < \frac{π}{2}$ False

$\frac{π}{2} < x < π$ Verdadeiro

$π < x < \frac{3 π}{2}$ Falso

$\frac{3 π}{2} < x < 2 π$ Verdadeiro

Etapa 2.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{2} + π n < x < π + π n$ ou $\frac{π}{2} + 2 π n < x < π + 2 π n$ ou $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < 2 π + 2 π n$

Etapa 3