Trigonometria Exemplos

$\sec (\frac{15 π}{8})$

Etapa 1

Substitua $\sec (\frac{15 π}{8})$ por uma expressão equivalente $\frac{1}{\cos (\frac{15 π}{8})}$ usando as identidades fundamentais.

$\frac{1}{\cos (\frac{15 π}{8})}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Converta de $\frac{1}{\cos (\frac{15 π}{8})}$ em $\sec (\frac{15 π}{8})$ .

$\sec (\frac{15 π}{8})$

Etapa 2.2

O valor exato de $\sec (\frac{15 π}{8})$ é $\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{15 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\sec (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$

Etapa 2.2.2

Aplique a identidade recíproca a $\sec (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})$ .

$\frac{1}{\cos (\frac{\frac{15 π}{4}}{2})}$

Etapa 2.2.3

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Etapa 2.2.4

Change the $\pm$ to $+$ because secant is positive in the fourth quadrant.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$

Etapa 2.2.5

Simplifique $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{15 π}{4})}{2}}}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.5.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}}$

Etapa 2.2.5.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}}$

Etapa 2.2.5.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Etapa 2.2.5.1.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Etapa 2.2.5.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}}$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.5.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2.5.2.2

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.2.5.2.2.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}}$

Etapa 2.2.5.2.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}}$

Etapa 2.2.5.2.3

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}}$

Etapa 2.2.5.2.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.5.2.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}}$

Etapa 2.2.5.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$

Etapa 2.2.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Etapa 2.2.5.4

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$ por $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$

Forma decimal:

$1.08239220 \dots$