Trigonometria Exemplos

$\tan (- 105)$

Etapa 1

Primeiro, divida o ângulo em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos. Neste caso, $- 105$ pode ser dividido em $45 - 150$ .

$\tan (45 - 150)$

Etapa 2

Use a fórmula da diferença da tangente para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\tan (A - B) = \frac{\tan (A) - \tan (B)}{1 + \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Etapa 3

Remova os parênteses.

$\frac{\tan (45) - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$\frac{1 - \tan (150)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Etapa 4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{1 - - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Etapa 4.3

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Etapa 4.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 4.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Etapa 4.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $1$ .

$\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Etapa 4.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (150)}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (150)}$

Etapa 5.2

Multiplique $\tan (150)$ por $1$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (150)}$

Etapa 5.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (30)}$

Etapa 5.4

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 5.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Etapa 5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}$

Etapa 6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3 - \sqrt{3}}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{1}{3 - \sqrt{3}}$

Etapa 8

Multiplique $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(3 + \sqrt{3}) (\frac{1}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}})$

Etapa 9

Simplifique os termos.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}$

Etapa 9.2

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

$(3 + \sqrt{3}) \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Etapa 9.4

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{6} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.5.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 (2)} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Etapa 9.5.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{3 + \sqrt{3}}{3 \cdot 2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Etapa 9.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \frac{3 + \sqrt{3}}{6}$

Etapa 9.6

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{3 + \sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6}$

Etapa 10

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 10.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Etapa 10.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6}$

Etapa 10.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.4.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6}$

Etapa 10.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6}$

Etapa 10.4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Etapa 10.5

Cancele o fator comum de $3 \sqrt{3} + 3$ e $6$ .

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Etapa 10.5.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3}{6}$

Etapa 10.5.2

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3}) + 3 (1)}{6}$

Etapa 10.5.3

Fatore $3$ de $3 (\sqrt{3}) + 3 (1)$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{6}$

Etapa 10.5.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.5.4.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 (2)}$

Etapa 10.5.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{3 \cdot 2}$

Etapa 10.5.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 + \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$

Etapa 11

Simplifique os termos.

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Etapa 11.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 1}{2}$

Etapa 11.2

Some $3$ e $1$ .

$\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.3

Some $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.4

Cancele o fator comum de $4 + 2 \sqrt{3}$ e $2$ .

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Etapa 11.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.4.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{2}$

Etapa 11.4.3

Fatore $2$ de $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2}$

Etapa 11.4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.4.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 (1)}$

Etapa 11.4.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 11.4.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 + \sqrt{3}}{1}$

Etapa 11.4.4.4

Divida $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

$2 + \sqrt{3}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 + \sqrt{3}$

Forma decimal:

$3.73205080 \dots$