Trigonometria Exemplos

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} = 4 \tan (x) \sec (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 2

Subtraia frações.

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 2.2

Para escrever $- \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ por $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))} - \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))} - \frac{(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Expanda $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 3.1.2.1.4.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} \sin (x) - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.2.1.4.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.2.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.2.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.2.2

Some $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 - - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.5

Multiplique $- - \sin (x)$ .

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Etapa 3.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 + 1 \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.5.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + (- 1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.6

Expanda $(- 1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.7.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 - 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.7.1.2

Multiplique $- 1 (- \sin (x))$ .

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Etapa 3.1.7.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.7.1.2.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.7.1.3

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.7.1.4

Multiplique $\sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 3.1.7.1.4.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.7.1.4.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - ({\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1})}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.7.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.7.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + \sin (x) + \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.1.7.2

Some $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} - 1 + 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + 0 + 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.3

Some $2 \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} + 2 \sin (x) + 2 \sin (x) - {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.4

Subtraia ${\sin (x)}^{2}$ de ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{2 \sin (x) + 2 \sin (x) + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.5

Some $2 \sin (x)$ e $2 \sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x) + 0}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 3.6

Some $4 \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{4 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Expanda $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 \sin (x)}{1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{4 \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 6

Reescreva $\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$ como $4 \tan (x) \sec (x)$ .

$4 \tan (x) \sec (x)$

Etapa 7

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 - \sin (x)}{1 + \sin (x)} = 4 \tan (x) \sec (x)$ é uma identidade