Trigonometria Exemplos

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)}$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x)}{\tan (x)}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\tan (x)}$

Etapa 2.2

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.7

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Etapa 2.7.1

Multiplique $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ por $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 2.7.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 2.7.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 2.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 2.7.5

Some $1$ e $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)}$

Etapa 2.7.6

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)}$

Etapa 2.7.7

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}$

Etapa 2.7.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Etapa 2.7.9

Some $1$ e $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 5

Reescreva $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Etapa 6

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\tan (x) + \cot (x)}{\tan (x)} = \csc^{2} (x)$ é uma identidade