Trigonometria Exemplos

$\cos (\frac{7 π}{6} + \frac{5 π}{4})$

Etapa 1

Para escrever $\frac{7 π}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{7 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 π}{4})$

Etapa 2

Para escrever $\frac{5 π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{7 π}{6} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\cos (\frac{7 π \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\cos (\frac{7 π \cdot 2}{12} + \frac{5 π}{4} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\cos (\frac{7 π \cdot 2}{12} + \frac{5 π \cdot 3}{4 \cdot 3})$

Etapa 3.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$\cos (\frac{7 π \cdot 2}{12} + \frac{5 π \cdot 3}{12})$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\cos (\frac{7 π \cdot 2 + 5 π \cdot 3}{12})$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $7$ .

$\cos (\frac{14 π + 5 π \cdot 3}{12})$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$\cos (\frac{14 π + 15 π}{12})$

Etapa 5.3

Some $14 π$ e $15 π$ .

$\cos (\frac{29 π}{12})$

Etapa 6

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cos (\frac{5 π}{12})$

Etapa 7

O valor exato de $\cos (\frac{5 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva $\frac{5 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\cos (\frac{\frac{5 π}{6}}{2})$

Etapa 7.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}$

Etapa 7.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}$

Etapa 7.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}$ .

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Etapa 7.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Etapa 7.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 7.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 7.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 7.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 7.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 7.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 7.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Etapa 7.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 7.4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 7.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Forma decimal:

$0.25881904 \dots$