Trigonometria Exemplos

$\arcsin (\sin (\frac{5 π}{8}))$

Etapa 1

Reescreva $\frac{5 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\arcsin (\sin (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}))$

Etapa 2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$\arcsin (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Etapa 3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o seno é positivo no segundo quadrante.

$\arcsin (\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}})$

Etapa 4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{2}}$ .

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Etapa 4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$\arcsin (\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Etapa 4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Etapa 4.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Etapa 4.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\arcsin (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\arcsin (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})$

Etapa 4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})$

Etapa 4.7

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.7.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})$

Etapa 4.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\arcsin (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})$

Etapa 4.8

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})$

Etapa 4.9

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.9.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\arcsin (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})$

Etapa 4.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\arcsin (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\arcsin (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})$

Forma decimal:

$1.17809724 \dots$