Trigonometria Exemplos

$\sin (x) + \sqrt{3} \cos (x) = 1$

Etapa 1

Subtraia $\sin (x)$ dos dois lados da equação.

$\sqrt{3} \cos (x) = 1 - \sin (x)$

Etapa 2

Eleve os dois lados da equação ao quadrado.

${(\sqrt{3} \cos (x))}^{2} = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Etapa 3

Simplifique ${(\sqrt{3} \cos (x))}^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra do produto a $\sqrt{3} \cos (x)$ .

${\sqrt{3}}^{2} \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Etapa 3.2

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

${(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Etapa 3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Etapa 3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3^{\frac{2}{2}} \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$3^{\frac{2}{2}} \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Etapa 3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$3^{1} \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Etapa 3.2.5

Avalie o expoente.

$3 \cos^{2} (x) = {(1 - \sin (x))}^{2}$

Etapa 4

Simplifique ${(1 - \sin (x))}^{2}$ .

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Etapa 4.1

Reescreva ${(1 - \sin (x))}^{2}$ como $(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$3 \cos^{2} (x) = (1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Etapa 4.2

Expanda $(1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cos^{2} (x) = 1 (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cos^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cos^{2} (x) = 1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 + 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $- \sin (x)$ por $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 4.3.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)$

Etapa 4.3.1.4.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)$

Etapa 4.3.1.4.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

Etapa 4.3.1.4.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

Etapa 4.3.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

Etapa 4.3.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Etapa 4.3.2

Subtraia $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$3 \cos^{2} (x) = 1 - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Etapa 5

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 \cos^{2} (x) - 1 = - 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Etapa 5.2

Some $2 \sin (x)$ aos dois lados da equação.

$3 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \sin (x) = \sin^{2} (x)$

Etapa 5.3

Subtraia $\sin^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$3 \cos^{2} (x) - 1 + 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 6

Substitua $3 \cos^{2} (x)$ por $3 (1 - \sin^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \sin^{2} (x)) - 1 + 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 (- \sin^{2} (x)) - 1 + 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + 3 (- \sin^{2} (x)) - 1 + 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 - 3 \sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 8.1

Subtraia $1$ de $3$ .

$- 3 \sin^{2} (x) + 2 + 2 \sin (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $\sin^{2} (x)$ de $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{2} (x) + 2 + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 9

Reordene o polinômio.

$- 4 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 2 = 0$

Etapa 10

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} + 2 (u) + 2 = 0$

Etapa 11

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 11.1

Fatore $- 2$ de $- 4 u^{2} + 2 u + 2$ .

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Etapa 11.1.1

Fatore $- 2$ de $- 4 u^{2}$ .

$- 2 (2 u^{2}) + 2 u + 2 = 0$

Etapa 11.1.2

Fatore $- 2$ de $2 u$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) + 2 = 0$

Etapa 11.1.3

Fatore $- 2$ de $2$ .

$- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Etapa 11.1.4

Fatore $- 2$ de $- 2 (2 u^{2}) - 2 (- u)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u) - 2 \cdot - 1 = 0$

Etapa 11.1.5

Fatore $- 2$ de $- 2 (2 u^{2} - u) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Etapa 11.2

Fatore.

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Etapa 11.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 11.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 11.2.1.1.1

Fatore $- 1$ de $- u$ .

$- 2 (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Etapa 11.2.1.1.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$- 2 (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Etapa 11.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Etapa 11.2.1.1.4

Multiplique $u$ por $1$ .

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Etapa 11.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 11.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- 2 (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Etapa 11.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- 2 (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Etapa 11.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u + 1$ .

$- 2 ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Etapa 11.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Etapa 12

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 13

Defina $2 u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 13.1

Defina $2 u + 1$ como igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Etapa 13.2

Resolva $2 u + 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 13.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 u = - 1$

Etapa 13.2.2

Divida cada termo em $2 u = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 13.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 13.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 13.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Etapa 13.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1}{2}$

Etapa 14

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 14.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 14.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 15

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 (2 u + 1) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 16

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Etapa 17

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = 1$

Etapa 18

Resolva $x$ em $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 18.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 18.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 18.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 18.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 18.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 18.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 18.4.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 18.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 18.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 18.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 18.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 18.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 18.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 18.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 18.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 18.6.3

Combine frações.

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Etapa 18.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 18.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 18.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 18.6.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 18.6.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 18.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 18.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 19

Resolva $x$ em $\sin (x) = 1$ .

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Etapa 19.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 19.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 19.2.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 19.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 19.4

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 19.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 19.4.2

Combine frações.

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Etapa 19.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 19.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 19.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 19.4.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 19.4.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 19.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 19.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 19.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 19.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 19.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 19.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 20

Liste todas as soluções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 21

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 22

Verifique as soluções, substituindo-as em $\sin (x) + \sqrt{3} \cos (x) = 1$ e resolvendo.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$