Trigonometria Exemplos

$\sec^{2} (x) + 2 \tan (x) = 0$

Etapa 1

Substitua $\sec^{2} (x)$ por $1 + \tan^{2} (x)$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 2 \tan (x) = 0$

Etapa 2

Reordene o polinômio.

$\tan^{2} (x) + 2 \tan (x) + 1 = 0$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\tan (x)$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Etapa 4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Etapa 4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 4.3

Reescreva o polinômio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 5

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 7

Substitua $\tan (x)$ por $u$ .

$\tan (x) = - 1$

Etapa 8

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 9

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 10

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 11

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 11.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 11.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 12

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 12.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 12.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 12.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 12.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 13

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 13.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 13.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 13.3

Combine frações.

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Etapa 13.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 13.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 13.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 13.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 13.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 14

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$