Trigonometria Exemplos

$\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Etapa 1

Substitua $\cos^{2} (2 x)$ por $1 - \sin^{2} (2 x)$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \sin^{2} (2 x)) - \sin^{2} (2 x) = 0$

Etapa 2

Subtraia $\sin^{2} (2 x)$ de $- \sin^{2} (2 x)$ .

$1 - 2 \sin^{2} (2 x) = 0$

Etapa 3

Reordene o polinômio.

$- 2 \sin^{2} (2 x) + 1 = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$

Etapa 5

Divida cada termo em $- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 2 \sin^{2} (2 x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin^{2} (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin^{2} (2 x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\sin^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (2 x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin^{2} (2 x) = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 7

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 7.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 7.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 7.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 7.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 7.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 7.4.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (2 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 8.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 8.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 9

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 10

Resolva $x$ em $\sin (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 10.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 10.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

Etapa 10.3

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{4}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Etapa 10.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

Etapa 10.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 10.3.3.2

Multiplique $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

Etapa 10.3.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

Etapa 10.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{4}$

Etapa 10.5

Resolva $x$ .

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Etapa 10.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$2 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 10.5.1.2

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 10.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 10.5.1.4

Subtraia $π$ de $π \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1.4.1

Reordene $π$ e $4$ .

$2 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 10.5.1.4.2

Subtraia $π$ de $4 \cdot π$ .

$2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

Etapa 10.5.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

Etapa 10.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

Etapa 10.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{2}$

Etapa 10.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 10.5.2.3.2

Multiplique $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{3 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4 \cdot 2}$

Etapa 10.5.2.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Etapa 10.6

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 10.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 10.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 10.6.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 10.7

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\sin (2 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é $- \frac{π}{4}$ .

$2 x = - \frac{π}{4}$

Etapa 11.3

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{4}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Divida cada termo em $2 x = - \frac{π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Etapa 11.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

Etapa 11.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 11.3.3.2

Multiplique $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

Etapa 11.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Etapa 11.4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Etapa 11.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Etapa 11.5.2

O ângulo resultante de $\frac{5 π}{4}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$2 x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 11.5.3

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 π}{4}$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.3.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 π}{4}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Etapa 11.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Etapa 11.5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

Etapa 11.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 11.5.3.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.3.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

Etapa 11.5.3.3.2.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Etapa 11.6

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.6.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 11.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 11.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 11.6.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 11.7

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.7.1

Some $π$ com $- \frac{π}{8}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{8} + π$

Etapa 11.7.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Etapa 11.7.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.7.3.1

Combine $π$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Etapa 11.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Etapa 11.7.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.7.4.1

Mova $8$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Etapa 11.7.4.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Etapa 11.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{7 π}{8}$

Etapa 11.8

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ , para qualquer número inteiro $n$