Trigonometria Exemplos

$\sin^{2} (x) + 2 \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\sin (x)$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Etapa 2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Etapa 2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Etapa 2.3

Reescreva o polinômio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 3

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 5

Substitua $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = - 1$

Etapa 6

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 8

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 9

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 9.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 9.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 10

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 10.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 11.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 11.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 11.3

Combine frações.

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Etapa 11.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 11.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 11.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 11.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 11.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 12

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$