Trigonometria Exemplos

$\cos (x) \cos (2 x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Etapa 1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Etapa 1.1.3

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) + \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Etapa 1.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x) - \sin (x) \sin (2 x) = 0$

Etapa 1.1.5

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x) - \sin (x) (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Etapa 1.1.6

Multiplique $- \sin (x) (2 \sin (x) \cos (x))$ .

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Etapa 1.1.6.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) (\sin (x) \cos (x)) = 0$

Etapa 1.1.6.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x) - 2 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) = 0$

Etapa 1.1.6.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x) - 2 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) = 0$

Etapa 1.1.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) = 0$

Etapa 1.1.6.5

Some $1$ e $1$ .

$\cos (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 1.2

Simplifique somando os termos.

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Etapa 1.2.1

Reordene os fatores de $- 2 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$\cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ de $- 2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 2

Fatore $\cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{1} (x)$ .

$\cos (x) \cdot 1 - 4 \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $\cos (x)$ de $- 4 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.1.4

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ .

$\cos (x) (1 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\cos (x) (1^{2} - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 2.3

Reescreva $4 \sin^{2} (x)$ como ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$\cos (x) (1^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}) = 0$

Etapa 2.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 2 \sin (x)$ .

$\cos (x) ((1 + 2 \sin (x)) (1 - (2 \sin (x)))) = 0$

Etapa 2.5

Fatore.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\cos (x) ((1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x))) = 0$

Etapa 2.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\cos (x) (1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 + 2 \sin (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 4

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 4.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 4.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 4.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $1 + 2 \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $1 + 2 \sin (x)$ como igual a $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $1 + 2 \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = - 1$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 5.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 5.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 5.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 5.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 5.2.6.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 5.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 5.2.8.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 5.2.8.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.2.8.3

Combine frações.

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Etapa 5.2.8.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 5.2.8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 5.2.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.8.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 5.2.8.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 5.2.8.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 5.2.9

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $1 - 2 \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $1 - 2 \sin (x)$ como igual a $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $1 - 2 \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 6.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 6.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 6.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.6.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 6.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 6.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $\cos (x) (1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$