Trigonometria Exemplos

$4 \sin^{2} (x) = 5 + 4 \cos (x)$

Etapa 1

Mova todas as expressões para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$4 \sin^{2} (x) - 5 = 4 \cos (x)$

Etapa 1.2

Subtraia $4 \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$4 \sin^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Etapa 2

Substitua $4 \sin^{2} (x)$ por $4 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Etapa 3.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 5 - 4 \cos (x) = 0$

Etapa 4

Subtraia $5$ de $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 1 - 4 \cos (x) = 0$

Etapa 5

Reordene o polinômio.

$- 4 \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 6

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 4 u - 1 = 0$

Etapa 7

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.1

Fatore $- 1$ de $- 4 u^{2} - 4 u - 1$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $- 1$ de $- 4 u^{2}$ .

$- (4 u^{2}) - 4 u - 1 = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore $- 1$ de $- 4 u$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 = 0$

Etapa 7.1.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$- (4 u^{2}) - (4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 7.1.4

Fatore $- 1$ de $- (4 u^{2}) - (4 u)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 7.1.5

Fatore $- 1$ de $- (4 u^{2} + 4 u) - 1 (1)$ .

$- (4 u^{2} + 4 u + 1) = 0$

Etapa 7.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $4 u^{2}$ como ${(2 u)}^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1) = 0$

Etapa 7.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- ({(2 u)}^{2} + 4 u + 1^{2}) = 0$

Etapa 7.2.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 u = 2 \cdot (2 u) \cdot 1$

Etapa 7.2.4

Reescreva o polinômio.

$- ({(2 u)}^{2} + 2 \cdot (2 u) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 7.2.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 2 u$ e $b = 1$ .

$- {(2 u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 8

Divida cada termo em $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $- {(2 u + 1)}^{2} = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- {(2 u + 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{{(2 u + 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 8.2.2

Divida ${(2 u + 1)}^{2}$ por $1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

${(2 u + 1)}^{2} = 0$

Etapa 9

Defina $2 u + 1$ como igual a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Etapa 10

Resolva $u$ .

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Etapa 10.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 u = - 1$

Etapa 10.2

Divida cada termo em $2 u = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Divida cada termo em $2 u = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Etapa 10.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u = - \frac{1}{2}$

Etapa 11

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 12

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 14

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 15

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 15.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 15.2

Combine frações.

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Etapa 15.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 15.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 15.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 15.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 16

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 16.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 17

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$