Trigonometria Exemplos

$4 \cos^{2} (4 x) - 3 = 0$

Etapa 1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 \cos^{2} (4 x) = 3$

Etapa 2

Divida cada termo em $4 \cos^{2} (4 x) = 3$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $4 \cos^{2} (4 x) = 3$ por $4$ .

$\frac{4 \cos^{2} (4 x)}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cos^{2} (4 x)}{4} = \frac{3}{4}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $\cos^{2} (4 x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (4 x) = \frac{3}{4}$

Etapa 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (4 x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (4 x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 6

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 7

Resolva $x$ em $\cos (4 x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$4 x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$4 x = \frac{π}{6}$

Etapa 7.3

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{6}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{π}{6}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Etapa 7.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Etapa 7.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Etapa 7.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 7.3.3.2

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

Etapa 7.3.3.2.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$x = \frac{π}{24}$

Etapa 7.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$4 x = 2 π - \frac{π}{6}$

Etapa 7.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.5.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 7.5.1.4

Multiplique $6$ por $2$ .

$4 x = \frac{12 π - π}{6}$

Etapa 7.5.1.5

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$4 x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 7.5.2

Divida cada termo em $4 x = \frac{11 π}{6}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{11 π}{6}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

Etapa 7.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

Etapa 7.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{6}}{4}$

Etapa 7.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 7.5.2.3.2

Multiplique $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{11 π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{11 π}{6 \cdot 4}$

Etapa 7.5.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$x = \frac{11 π}{24}$

Etapa 7.6

Encontre o período de $\cos (4 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.6.2

Substitua $b$ por $4$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Etapa 7.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Etapa 7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.4.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Etapa 7.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π}{2}$

Etapa 7.7

O período da função $\cos (4 x)$ é $\frac{π}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{2}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\cos (4 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$4 x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{5 π}{6}$ .

$4 x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 8.3

Divida cada termo em $4 x = \frac{5 π}{6}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{5 π}{6}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

Etapa 8.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{4}$

Etapa 8.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 8.3.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 4}$

Etapa 8.3.3.2.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Etapa 8.4

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$4 x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Etapa 8.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$4 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Etapa 8.5.1.2

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$4 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Etapa 8.5.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Etapa 8.5.1.4

Multiplique $6$ por $2$ .

$4 x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Etapa 8.5.1.5

Subtraia $5 π$ de $12 π$ .

$4 x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 8.5.2

Divida cada termo em $4 x = \frac{7 π}{6}$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.1

Divida cada termo em $4 x = \frac{7 π}{6}$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Etapa 8.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Etapa 8.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Etapa 8.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 8.5.2.3.2

Multiplique $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.2.3.2.1

Multiplique $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 4}$

Etapa 8.5.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$x = \frac{7 π}{24}$

Etapa 8.6

Encontre o período de $\cos (4 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.6.2

Substitua $b$ por $4$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Etapa 8.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Etapa 8.6.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.4.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Etapa 8.6.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.6.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 8.6.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{π}{2}$

Etapa 8.7

O período da função $\cos (4 x)$ é $\frac{π}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{2}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Consolide as soluções.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Consolide $\frac{π}{24} + \frac{π n}{2}$ e $\frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ em $\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, \frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.2

Consolide $\frac{11 π}{24} + \frac{π n}{2}$ e $\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ em $\frac{5 π}{24} + \frac{π n}{4}$ .

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{4}$ , para qualquer número inteiro $n$