Trigonometria Exemplos

$\tan^{2} (x) + \sec (x) - 1 = 0$

Etapa 1

Substitua $\tan^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x) - 1$ com base na identidade $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) + \sec (x) - 1 = 0$

Etapa 2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\sec^{2} (x) + \sec (x) - 2 = 0$

Etapa 3

Substitua $u$ por $\sec (x)$ .

${(u)}^{2} + u - 2 = 0$

Etapa 4

Fatore $u^{2} + u - 2$ usando o método AC.

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Etapa 4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $1$ .

$- 1, 2$

Etapa 4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 1) (u + 2) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Etapa 6

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 7

Defina $u + 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 7.1

Defina $u + 2$ como igual a $0$ .

$u + 2 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$u = - 2$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 1) (u + 2) = 0$ verdadeiro.

$u = 1, - 2$

Etapa 9

Substitua $\sec (x)$ por $u$ .

$\sec (x) = 1, - 2$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sec (x) = 1$

$\sec (x) = - 2$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\sec (x) = 1$ .

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Etapa 11.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (1)$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

O valor exato de $arcsec (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 11.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 11.4

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\sec (x) = - 2$ .

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Etapa 12.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- 2)$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

O valor exato de $arcsec (- 2)$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 12.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 12.4

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 12.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 12.4.2

Combine frações.

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Etapa 12.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 12.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 12.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 12.4.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 12.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Liste todas as soluções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Consolide as respostas.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$