Trigonometria Exemplos

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \csc (x) - 1 = 0$

Etapa 1

Combine $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\csc (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} - 1 = 0$

Etapa 2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = 1$

Etapa 3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Etapa 4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1.1

Simplifique $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2}$ .

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Etapa 4.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2} \csc (x)}{2} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Etapa 4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Etapa 4.1.1.2

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

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Etapa 4.1.1.2.1

Fatore $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2} \csc (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Etapa 4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \csc (x)) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Etapa 4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Etapa 4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot 1$ .

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique $\frac{2}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.2.1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.6.5

Avalie o expoente.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\csc (x) = \frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.3.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{2} \cdot 1$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Etapa 5

Obtenha a cossecante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da cossecante.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $arccsc (\sqrt{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 7

A função cossecante é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Etapa 8

Simplifique $π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 8.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 8.2

Combine frações.

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Etapa 8.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 8.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 8.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 9

Encontre o período de $\csc (x)$ .

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Etapa 9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10

O período da função $\csc (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$