Trigonometria Exemplos

$\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

Etapa 1

Fatore $\tan^{4} (x) - 20 \tan^{2} (x) + 64$ .

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Etapa 1.1

Reescreva $\tan^{4} (x)$ como ${(\tan^{2} (x))}^{2}$ .

${(\tan^{2} (x))}^{2} - 20 \tan^{2} (x) + 64 = 0$

Etapa 1.2

Deixe $u = \tan^{2} (x)$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $\tan^{2} (x)$ .

$u^{2} - 20 u + 64 = 0$

Etapa 1.3

Fatore $u^{2} - 20 u + 64$ usando o método AC.

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Etapa 1.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $64$ e cuja soma é $- 20$ .

$- 16, - 4$

Etapa 1.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 16) (u - 4) = 0$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan^{2} (x)$ .

$(\tan^{2} (x) - 16) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Etapa 1.5

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$(\tan^{2} (x) - 4^{2}) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Etapa 1.6

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \tan (x)$ e $b = 4$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 4) = 0$

Etapa 1.7

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan^{2} (x) - 2^{2}) = 0$

Etapa 1.8

Fatore.

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Etapa 1.8.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \tan (x)$ e $b = 2$ .

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) ((\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2)) = 0$

Etapa 1.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

$\tan (x) - 4 = 0$

$\tan (x) + 2 = 0$

$\tan (x) - 2 = 0$

Etapa 3

Defina $\tan (x) + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.1

Defina $\tan (x) + 4$ como igual a $0$ .

$\tan (x) + 4 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $\tan (x) + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 4$

Etapa 3.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 4)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Avalie $\arctan (- 4)$ .

$x = - 1.32581766$

Etapa 3.2.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - 1.32581766 - (3.14159265)$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 3.2.5.1

Some $2 π$ a $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.32581766 - (3.14159265) + 2 π$

Etapa 3.2.5.2

O ângulo resultante de $1.81577498$ é positivo e coterminal com $- 1.32581766 - (3.14159265)$ .

$x = 1.81577498$

Etapa 3.2.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 3.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 3.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 3.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 3.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 3.2.7

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 3.2.7.1

Some $π$ com $- 1.32581766$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 1.32581766 + π$

Etapa 3.2.7.2

Substitua pela aproximação decimal.

$3.14159265 - 1.32581766$

Etapa 3.2.7.3

Subtraia $1.32581766$ de $3.14159265$ .

$1.81577498$

Etapa 3.2.7.4

Liste os novos ângulos.

$x = 1.81577498$

Etapa 3.2.8

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Defina $\tan (x) - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\tan (x) - 4$ como igual a $0$ .

$\tan (x) - 4 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\tan (x) - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$\tan (x) = 4$

Etapa 4.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (4)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Avalie $\arctan (4)$ .

$x = 1.32581766$

Etapa 4.2.4

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

Etapa 4.2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.5.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 1.32581766$

Etapa 4.2.5.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 1.32581766$

Etapa 4.2.5.3

Some $3.14159265$ e $1.32581766$ .

$x = 4.46741031$

Etapa 4.2.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 4.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\tan (x) + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\tan (x) + 2$ como igual a $0$ .

$\tan (x) + 2 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\tan (x) + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 2$

Etapa 5.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 2)$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Avalie $\arctan (- 2)$ .

$x = - 1.10714871$

Etapa 5.2.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - 1.10714871 - (3.14159265)$

Etapa 5.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 5.2.5.1

Some $2 π$ a $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.10714871 - (3.14159265) + 2 π$

Etapa 5.2.5.2

O ângulo resultante de $2.03444393$ é positivo e coterminal com $- 1.10714871 - (3.14159265)$ .

$x = 2.03444393$

Etapa 5.2.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.2.7

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.7.1

Some $π$ com $- 1.10714871$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 1.10714871 + π$

Etapa 5.2.7.2

Substitua pela aproximação decimal.

$3.14159265 - 1.10714871$

Etapa 5.2.7.3

Subtraia $1.10714871$ de $3.14159265$ .

$2.03444393$

Etapa 5.2.7.4

Liste os novos ângulos.

$x = 2.03444393$

Etapa 5.2.8

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Defina $\tan (x) - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\tan (x) - 2$ como igual a $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\tan (x) - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\tan (x) = 2$

Etapa 6.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (2)$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Avalie $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Etapa 6.2.4

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Etapa 6.2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 6.2.5.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Etapa 6.2.5.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Etapa 6.2.5.3

Some $3.14159265$ e $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Etapa 6.2.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 6.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 6.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 6.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 6.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 6.2.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(\tan (x) + 4) (\tan (x) - 4) (\tan (x) + 2) (\tan (x) - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 1.81577498 + π n, 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

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Etapa 8.1

Consolide $1.81577498 + π n$ e $1.81577498 + π n$ em $1.81577498 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 4.46741031 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.2

Consolide $1.32581766 + π n$ e $4.46741031 + π n$ em $1.32581766 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.3

Consolide $2.03444393 + π n$ e $2.03444393 + π n$ em $2.03444393 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.4

Consolide $1.10714871 + π n$ e $4.24874137 + π n$ em $1.10714871 + π n$ .

$x = 1.81577498 + π n, 1.32581766 + π n, 2.03444393 + π n, 1.10714871 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$