Trigonometria Exemplos

$\sin (7.5)$

Etapa 1

Reescreva $7.5$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$\sin (\frac{15}{2})$

Etapa 2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (15)}{2}}$

Etapa 3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o seno é positivo no primeiro quadrante.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (15)}{2}}$

Etapa 4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (15)}{2}}$ .

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Etapa 4.1

O valor exato de $\cos (15)$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 4.1.1

Divida $15$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45 - 30)}{2}}$

Etapa 4.1.2

Separar negativação.

$\sqrt{\frac{1 - \cos (45 - (30))}{2}}$

Etapa 4.1.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}{2}}$

Etapa 4.1.4

O valor exato de $\cos (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30))}{2}}$

Etapa 4.1.5

O valor exato de $\cos (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30))}{2}}$

Etapa 4.1.6

O valor exato de $\sin (45)$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))}{2}}$

Etapa 4.1.7

O valor exato de $\sin (30)$ é $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}$

Etapa 4.1.8

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 4.1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}$

Etapa 4.1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}$

Etapa 4.1.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}$

Etapa 4.1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})}{2}}$

Etapa 4.1.8.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{2}}$

Etapa 4.1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})}{2}}$

Etapa 4.1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Etapa 4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}}{2}}$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}}$

Etapa 4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 4.6

Multiplique $\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.6.1

Multiplique $\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2}}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$

Etapa 4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}{8}}$ como $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$

Etapa 4.8

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.8.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.8.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}}$

Etapa 4.8.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$

Etapa 4.9

Multiplique $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 4.10

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 4.10.1

Multiplique $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 4.10.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 4.10.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Etapa 4.10.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Etapa 4.10.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.10.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 4.10.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.10.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.10.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.10.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.10.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.10.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.10.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Etapa 4.10.7.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.11

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.12

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} - \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$

Forma decimal:

$0.13052619 \dots$