Trigonometria Exemplos

$\cos (2 x)$

Etapa 1

Um bom método para expandir $\cos (2 x)$ é usando o teorema de De Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Quando $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Etapa 2

Expanda o lado direito de $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ usando o teorema binomial.

Expandir: ${(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{2}$

Etapa 3

Reescreva ${(\cos (x) + i \sin (x))}^{2}$ como $(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$ .

$(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$

Etapa 4

Expanda $(\cos (x) + i \sin (x)) (\cos (x) + i \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) (\cos (x) + i \sin (x)) + i \sin (x) (\cos (x) + i \sin (x))$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) (\cos (x) + i \sin (x))$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Etapa 5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 5.1.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Etapa 5.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Etapa 5.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Etapa 5.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + \cos (x) (i \sin (x)) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Etapa 5.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i \sin (x) (i \sin (x))$

Etapa 5.1.3

Multiplique $i \sin (x) (i \sin (x))$ .

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Etapa 5.1.3.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1} i \sin (x) \sin (x)$

Etapa 5.1.3.2

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1} i^{1} \sin (x) \sin (x)$

Etapa 5.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{1 + 1} \sin (x) \sin (x)$

Etapa 5.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} \sin (x) \sin (x)$

Etapa 5.1.3.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Etapa 5.1.3.6

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Etapa 5.1.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} {\sin (x)}^{1 + 1}$

Etapa 5.1.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) + i^{2} \sin^{2} (x)$

Etapa 5.1.4

Reescreva $i^{2}$ como $- 1$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) - 1 \sin^{2} (x)$

Etapa 5.1.5

Reescreva $- 1 \sin^{2} (x)$ como $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 5.2

Reordene os fatores de $i \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos^{2} (x) + i \cos (x) \sin (x) + i \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 5.3

Some $i \cos (x) \sin (x)$ e $i \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) + 2 i \cos (x) \sin (x) - \sin^{2} (x)$

Etapa 6

Mova $- \sin^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 i \cos (x) \sin (x)$

Etapa 7

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\cos (2 x) + 2 i \cos (x) \sin (x)$

Etapa 8

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1

Adicione parênteses.

$\cos (2 x) + 2 i (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 8.2

Reordene $2 i$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (2 x) + \cos (x) \sin (x) (2 i)$

Etapa 8.3

Adicione parênteses.

$\cos (2 x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) i$

Etapa 8.4

Reordene $\cos (x)$ e $\sin (x) \cdot 2$ .

$\cos (2 x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) i$

Etapa 8.5

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$\cos (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) i$

Etapa 8.6

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\cos (2 x) + \sin (2 x) i$

Etapa 9

Reordene os fatores em $\cos (2 x) + \sin (2 x) i$ .

$\cos (2 x) + i \sin (2 x)$

Etapa 10

Retire as expressões com a parte imaginária, que são iguais a $\cos (2 x)$ . Remova o número imaginário $i$ .

$\cos (2 x) = 2 \cos^{2} (x) - 1$