Trigonometria Exemplos

$\tan (105)$

Etapa 1

Para converter graus em radianos, multiplique por $\frac{π}{180 °}$ , pois um círculo completo tem $360 °$ ou $2 π$ radianos.

Etapa 2

O valor exato de $\tan (105)$ é $- 2 - \sqrt{3}$ .

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Etapa 2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

Radianos de $- \tan (75) \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.2

Divida $75$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

Radianos de $- \tan (30 + 45) \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.3

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

Radianos de $- \frac{\tan (30) + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.4

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Radianos de $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (45)}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.5

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

Radianos de $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \tan (30) \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.6

O valor exato de $\tan (30)$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Radianos de $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \tan (45)} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.7

O valor exato de $\tan (45)$ é $1$ .

Radianos de $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8

Simplifique $- \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ .

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Etapa 2.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Etapa 2.8.1.1

Multiplique $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

Radianos de $- \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.1.2

Combine.

Radianos de $- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1)}{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

Radianos de $- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.8.3.1

Cancele o fator comum.

Radianos de $- \frac{3 (\frac{\sqrt{3}}{3}) + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.3.2

Reescreva a expressão.

Radianos de $- \frac{\sqrt{3} + 3 \cdot 1}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.4

Multiplique $3$ por $1$ .

Radianos de $- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.8.5.1

Multiplique $3$ por $1$ .

Radianos de $- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1)} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

Radianos de $- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.5.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.8.5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

Radianos de $- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.5.3.2

Cancele o fator comum.

Radianos de $- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 + 3 (\frac{- \sqrt{3}}{3})} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.5.3.3

Reescreva a expressão.

Radianos de $- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.6

Multiplique $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

Radianos de $- \frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.7

Multiplique $\frac{\sqrt{3} + 3}{3 - \sqrt{3}}$ por $\frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ .

Radianos de $- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.8

Expanda o denominador usando o método FOIL.

Radianos de $- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{9 + 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.9

Simplifique.

Radianos de $- \frac{(\sqrt{3} + 3) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.8.10.1

Reordene os termos.

Radianos de $- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.10.2

Eleve $3 + \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

Radianos de $- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.10.3

Eleve $3 + \sqrt{3}$ à potência de $1$ .

Radianos de $- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.10.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

Radianos de $- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.10.5

Some $1$ e $1$ .

Radianos de $- \frac{{(3 + \sqrt{3})}^{2}}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.11

Reescreva ${(3 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ .

Radianos de $- \frac{(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.12

Expanda $(3 + \sqrt{3}) (3 + \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.8.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

Radianos de $- \frac{3 (3 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

Radianos de $- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} (3 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.12.3

Aplique a propriedade distributiva.

Radianos de $- \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.13

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.8.13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.13.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

Radianos de $- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.13.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

Radianos de $- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.13.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

Radianos de $- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.13.1.4

Multiplique $3$ por $3$ .

Radianos de $- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{9}}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.13.1.5

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

Radianos de $- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.13.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

Radianos de $- \frac{9 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3} + 3}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.13.2

Some $9$ e $3$ .

Radianos de $- \frac{12 + 3 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.13.3

Some $3 \sqrt{3}$ e $3 \sqrt{3}$ .

Radianos de $- \frac{12 + 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.14

Cancele o fator comum de $12 + 6 \sqrt{3}$ e $6$ .

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Etapa 2.8.14.1

Fatore $6$ de $12$ .

Radianos de $- \frac{6 \cdot 2 + 6 \sqrt{3}}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.14.2

Fatore $6$ de $6 \sqrt{3}$ .

Radianos de $- \frac{6 \cdot 2 + 6 (\sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.14.3

Fatore $6$ de $6 (2) + 6 (\sqrt{3})$ .

Radianos de $- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.14.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.8.14.4.1

Fatore $6$ de $6$ .

Radianos de $- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 (1)} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.14.4.2

Cancele o fator comum.

Radianos de $- \frac{6 (2 + \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.14.4.3

Reescreva a expressão.

Radianos de $- \frac{2 + \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.14.4.4

Divida $2 + \sqrt{3}$ por $1$ .

Radianos de $- (2 + \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.15

Aplique a propriedade distributiva.

Radianos de $(- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 2.8.16

Multiplique $- 1$ por $2$ .

Radianos de $(- 2 - \sqrt{3}) \cdot \frac{π}{180}$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

Radianos de $- 2 \frac{π}{180} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

Radianos de $2 (- 1) (\frac{π}{180}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$

Etapa 4.2

Fatore $2$ de $180$ .

Radianos de $2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum.

Radianos de $2 \cdot (- 1 \frac{π}{2 \cdot 90}) - \sqrt{3} \frac{π}{180}$

Etapa 4.4

Reescreva a expressão.

Radianos de $- 1 \frac{π}{90} - \sqrt{3} \frac{π}{180}$

Etapa 5

Combine $\frac{π}{180}$ e $\sqrt{3}$ .

Radianos de $- 1 \frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$

Etapa 6

Reescreva $- 1 \frac{π}{90}$ como $- \frac{π}{90}$ .

Radianos de $- \frac{π}{90} - \frac{π \sqrt{3}}{180}$