Trigonometria Exemplos

$\sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$

Etapa 2

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 2.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \csc^{2} (x)$

Etapa 2.2

Aplique a identidade recíproca a $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 2.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3

Some as frações.

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Etapa 3.1

Para escrever $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 3.2

Para escrever $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.3.1

Multiplique $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ por $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ por $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)}$

Etapa 3.3.3

Reordene os fatores de $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Etapa 3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Etapa 4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{1}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Etapa 5

Reescreva $\frac{1}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$ como $\sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Etapa 6

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) + \csc^{2} (x)$ é uma identidade