Trigonometria Exemplos

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)} + \frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)}$

Etapa 1

Para escrever $\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\tan (x)} + \frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)}$

Etapa 2

Para escrever $\frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ .

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\tan (x)} + \frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 + \sec (x)) \tan (x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$ por $\frac{\tan (x)}{\tan (x)}$ .

$\frac{\tan (x) \tan (x)}{(1 + \sec (x)) \tan (x)} + \frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)} \cdot \frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1 + \sec (x)}{\tan (x)}$ por $\frac{1 + \sec (x)}{1 + \sec (x)}$ .

$\frac{\tan (x) \tan (x)}{(1 + \sec (x)) \tan (x)} + \frac{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 3.3

Reordene os fatores de $(1 + \sec (x)) \tan (x)$ .

$\frac{\tan (x) \tan (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))} + \frac{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\tan (x) \tan (x) + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $\tan (x) \tan (x)$ .

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Etapa 5.1.1

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\tan^{1} (x) \tan (x) + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.1.2

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\tan (x)}^{1 + 1} + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + (1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.2

Expanda $(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 (1 + \sec (x)) + \sec (x) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sec (x) + \sec (x) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + 1 \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $\sec (x)$ por $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.3.1.3

Multiplique $\sec (x)$ por $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + \sec (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.3.1.4

Multiplique $\sec (x) \sec (x)$ .

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Etapa 5.3.1.4.1

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.3.1.4.2

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.3.1.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1}}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.3.1.4.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + \sec (x) + \sec (x) + \sec^{2} (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.3.2

Some $\sec (x)$ e $\sec (x)$ .

$\frac{\tan^{2} (x) + 1 + 2 \sec (x) + \sec^{2} (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.4

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sec^{2} (x) + 2 \sec (x) + \sec^{2} (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.5

Some $\sec^{2} (x)$ e $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec^{2} (x) + 2 \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.6

Fatore $2 \sec (x)$ de $2 \sec^{2} (x) + 2 \sec (x)$ .

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Etapa 5.6.1

Fatore $2 \sec (x)$ de $2 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) (\sec (x)) + 2 \sec (x)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.6.2

Fatore $2 \sec (x)$ de $2 \sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) (\sec (x)) + 2 \sec (x) (1)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 5.6.3

Fatore $2 \sec (x)$ de $2 \sec (x) (\sec (x)) + 2 \sec (x) (1)$ .

$\frac{2 \sec (x) (\sec (x) + 1)}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $\sec (x) + 1$ e $1 + \sec (x)$ .

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Etapa 6.1

Reordene os termos.

$\frac{2 \sec (x) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sec (x) (1 + \sec (x))}{\tan (x) (1 + \sec (x))}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sec (x)}{\tan (x)}$

Etapa 7

Separe as frações.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sec (x)}{\tan (x)}$

Etapa 8

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 9

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Etapa 10

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{1} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 11

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{1} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 11.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 12

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$\frac{2}{1} \csc (x)$

Etapa 13

Divida $2$ por $1$ .

$2 \csc (x)$