Trigonometria Exemplos

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) = 8 \tan (x)$

Etapa 1

Subtraia $8 \tan (x)$ dos dois lados da equação.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 8 \tan (x) = 0$

Etapa 2

Fatore $4 \tan (x)$ de $4 \sec^{2} (x) \tan (x) - 8 \tan (x)$ .

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Etapa 2.1

Fatore $4 \tan (x)$ de $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) - 8 \tan (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $4 \tan (x)$ de $- 8 \tan (x)$ .

$4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cdot - 2 = 0$

Etapa 2.3

Fatore $4 \tan (x)$ de $4 \tan (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cdot - 2$ .

$4 \tan (x) (\sec^{2} (x) - 2) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

$\sec^{2} (x) - 2 = 0$

Etapa 4

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\tan (x)$ como igual a $0$ .

$\tan (x) = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\tan (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (0)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.2.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + 0$

Etapa 4.2.4

Some $π$ e $0$ .

$x = π$

Etapa 4.2.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 4.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = π n, π + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\sec^{2} (x) - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\sec^{2} (x) - 2$ como igual a $0$ .

$\sec^{2} (x) - 2 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\sec^{2} (x) - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\sec^{2} (x) = 2$

Etapa 5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

Etapa 5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sec (x) = \sqrt{2}$

Etapa 5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 5.2.4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

Etapa 5.2.5

Resolva $x$ em $\sec (x) = \sqrt{2}$ .

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Etapa 5.2.5.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (\sqrt{2})$

Etapa 5.2.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.5.2.1

O valor exato de $arcsec (\sqrt{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.5.3

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.5.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 5.2.5.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.5.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.5.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.2.5.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.2.5.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.5.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Etapa 5.2.5.4.3.2

Subtraia $π$ de $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 5.2.5.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 5.2.5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.5.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.5.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.6

Resolva $x$ em $\sec (x) = - \sqrt{2}$ .

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Etapa 5.2.6.1

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

Etapa 5.2.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.6.2.1

O valor exato de $arcsec (- \sqrt{2})$ é $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.6.3

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.6.4

Simplifique $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

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Etapa 5.2.6.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.6.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.6.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.2.6.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 5.2.6.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.6.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Etapa 5.2.6.4.3.2

Subtraia $3 π$ de $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 5.2.6.5

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 5.2.6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.6.6

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.7

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.2.8

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $4 \tan (x) (\sec^{2} (x) - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = π n, π + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide $π n$ e $π + π n$ em $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$