Trigonometria Exemplos

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$

Etapa 1

Eleve os dois lados da equação ao quadrado.

${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2} = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2

Simplifique ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva ${(2 \cos (x) + 2 \sin (x))}^{2}$ como $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ .

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.2

Expanda $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) + 2 \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) + 2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $1$ e $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.2

Adicione parênteses.

$4 \cos^{2} (x) + 2 (\cos (x) (2 \sin (x))) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.3

Reordene $\cos (x)$ e $2 \sin (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 (2 \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.5

Adicione parênteses.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (\sin (x) (2 \cos (x))) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.6

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 (2 \cdot \sin (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.7

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (x) (2 \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.8

Multiplique $2 \sin (x) (2 \sin (x))$ .

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Etapa 2.3.1.8.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin (x) \sin (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.8.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.8.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 {\sin (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.1.8.5

Some $1$ e $1$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (2 x) + 2 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.3.2

Some $2 \sin (2 x)$ e $2 \sin (2 x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin (2 x) + 4 \sin^{2} (x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.4

Mova $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 \cos^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.5

Fatore $4$ de $4 \cos^{2} (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.6

Fatore $4$ de $4 \sin^{2} (x)$ .

$4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.7

Fatore $4$ de $4 (\cos^{2} (x)) + 4 (\sin^{2} (x))$ .

$4 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.8

Reorganize os termos.

$4 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.9

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$4 \cdot 1 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 2.10

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = {(\sqrt{6})}^{2}$

Etapa 3

Reescreva ${\sqrt{6}}^{2}$ como $6$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{6}$ como $6^{\frac{1}{2}}$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6^{1}$

Etapa 3.5

Avalie o expoente.

$4 + 4 \sin (2 x) = 6$

Etapa 4

Mova todos os termos que não contêm $\sin (2 x)$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$4 \sin (2 x) = 6 - 4$

Etapa 4.2

Subtraia $4$ de $6$ .

$4 \sin (2 x) = 2$

Etapa 5

Divida cada termo em $4 \sin (2 x) = 2$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $4 \sin (2 x) = 2$ por $4$ .

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sin (2 x)}{4} = \frac{2}{4}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\sin (2 x)$ por $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{2}{4}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 5.3.1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\sin (2 x) = \frac{2 (1)}{4}$

Etapa 5.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (2 x) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

Etapa 6

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Etapa 8

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 8.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Etapa 9

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 10

Resolva $x$ .

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Etapa 10.1

Simplifique.

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Etapa 10.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 10.1.2

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 10.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 10.1.4

Subtraia $π$ de $π \cdot 6$ .

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Etapa 10.1.4.1

Reordene $π$ e $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 10.1.4.2

Subtraia $π$ de $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Etapa 10.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 10.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 10.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.3.2

Multiplique $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 10.2.3.2.1

Multiplique $\frac{5 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Etapa 10.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Etapa 11

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 11.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 11.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 11.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 11.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 12

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Exclua as soluções que não tornam $2 \cos (x) + 2 \sin (x) = \sqrt{6}$ verdadeira.

$x = \frac{π}{12} + 2 π n, \frac{5 π}{12} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$