Trigonometria Exemplos

$\cos (x) - \sin (x) = 1$

Etapa 1

Use a fórmula para resolver a equação. Nesta fórmula, $θ$ representa o ângulo criado ao plotar o ponto $(a, b)$ em um gráfico e, portanto, pode ser encontrado usando $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$a \sin (x) + b \cos (x) = R \sin (x + θ)$ em que $R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ e $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Etapa 2

Estabeleça a equação para encontrar o valor de $θ$ .

$\tan^{-1} (\frac{1}{- 1})$

Etapa 3

Obtenha a tangente inversa para resolver a equação de $θ$ .

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Etapa 3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$θ = \tan^{-1} (- 1)$

Etapa 3.2

O valor exato de $\tan^{-1} (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 4

Resolva para encontrar o valor de $R$ .

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Etapa 4.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$R = \sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Etapa 4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$R = \sqrt{1 + 1}$

Etapa 4.3

Some $1$ e $1$ .

$R = \sqrt{2}$

Etapa 5

Substitua os valores conhecidos na equação.

$(\sqrt{2}) \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

Etapa 6

Divida cada termo em $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ por $\sqrt{2}$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = 1$ por $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $\sin (x - \frac{π}{4})$ por $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 6.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 6.3.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 6.3.2.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 6.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 6.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 6.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 6.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 7

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x - \frac{π}{4} = \sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 8

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\sin^{-1} (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é $\frac{π}{4}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{4}$

Etapa 9

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π + π}{4}$

Etapa 9.3

Some $π$ e $π$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Etapa 9.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 9.4.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Etapa 9.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 10

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x - \frac{π}{4} = π - \frac{π}{4}$

Etapa 11

Resolva $x$ .

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Etapa 11.1

Simplifique $π - \frac{π}{4}$ .

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Etapa 11.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{4} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 11.1.2

Combine frações.

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Etapa 11.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 11.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x - \frac{π}{4} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 11.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.1.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 11.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

Etapa 11.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 11.2.1

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{3 π}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 11.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{3 π + π}{4}$

Etapa 11.2.3

Some $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{4}$

Etapa 11.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 11.2.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{4 π}{4}$

Etapa 11.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$x = π$

Etapa 12

Encontre o período de $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

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Etapa 12.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13

O período da função $\sin (x - \frac{π}{4})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Exclua as soluções que não tornam $\cos (x) - \sin (x) = 1$ verdadeira.

Nenhuma solução