Trigonometria Exemplos

$\sin (\frac{13 π}{12}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1

O valor exato de $\sin (\frac{13 π}{12})$ é $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$- \sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.2

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.3

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$- (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.6

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.8

Simplifique $- (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$ .

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Etapa 1.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.8.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.8.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.8.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.8.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.8.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.8.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.8.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.8.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12})$

Etapa 2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 2.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Etapa 2.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 2.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 2.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 2.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Etapa 2.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Etapa 2.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 3

Multiplique $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$- \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Etapa 3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$- \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Expanda $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $6$ por $6$ .

$- \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$- \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 4.2.1.5.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.5.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$- \frac{6 - \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.2.1.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$- \frac{6 - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.6.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{6 - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.9

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.10

Multiplique $2$ por $6$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.11

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 4.2.1.11.1

Fatore $4$ de $12$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.11.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.12

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.13

Multiplique $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Etapa 4.2.1.13.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{16}$

Etapa 4.2.1.13.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{16}$

Etapa 4.2.1.13.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16}$

Etapa 4.2.1.13.4

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{16}$

Etapa 4.2.1.14

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.2.1.14.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16}$

Etapa 4.2.1.14.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16}$

Etapa 4.2.1.14.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Etapa 4.2.1.14.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.14.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{16}$

Etapa 4.2.1.14.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{1}}{16}$

Etapa 4.2.1.14.5

Avalie o expoente.

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{16}$

Etapa 4.2.1.15

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2}{16}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2$ de $6$ .

$- \frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{16}$

Etapa 4.2.3

Some $- 2 \sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$- \frac{4 + 0}{16}$

Etapa 4.2.4

Some $4$ e $0$ .

$- \frac{4}{16}$

Etapa 5

Cancele o fator comum de $4$ e $16$ .

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Etapa 5.1

Fatore $4$ de $4$ .

$- \frac{4 (1)}{16}$

Etapa 5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Etapa 5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25$