Trigonometria Exemplos

\sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})

$\sin (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})$

Etapa 1

Para escrever

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})

$\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3})$

Etapa 2

Para escrever

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})

$\sin (\frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 3

Escreva cada expressão com um denominador comum de

12

$12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de

1

$1$ .

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Etapa 3.1

Multiplique

\frac{π}{4}

$\frac{π}{4}$ por

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

\sin (\frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 3.2

Multiplique

4

$4$ por

3

$3$ .

\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4})$

Etapa 3.3

Multiplique

\frac{π}{3}

$\frac{π}{3}$ por

\frac{4}{4}

$\frac{4}{4}$ .

\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4})$

Etapa 3.4

Multiplique

3

$3$ por

4

$4$ .

\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})$

\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})

$\sin (\frac{π \cdot 3}{12} + \frac{π \cdot 4}{12})$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

\sin (\frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12})

$\sin (\frac{π \cdot 3 + π \cdot 4}{12})$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Mova

3

$3$ para a esquerda de

π

$π$ .

\sin (\frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12})

$\sin (\frac{3 \cdot π + π \cdot 4}{12})$

Etapa 5.2

Mova

4

$4$ para a esquerda de

π

$π$ .

\sin (\frac{3 π + 4 \cdot π}{12})

$\sin (\frac{3 π + 4 \cdot π}{12})$

Etapa 5.3

Some

3 π

$3 π$ e

4 π

$4 π$ .

\sin (\frac{7 π}{12})

$\sin (\frac{7 π}{12})$

\sin (\frac{7 π}{12})

$\sin (\frac{7 π}{12})$

Etapa 6

O valor exato de

\sin (\frac{7 π}{12})

$\sin (\frac{7 π}{12})$ é

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ .

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Etapa 6.1

Reescreva

\frac{7 π}{12}

$\frac{7 π}{12}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por

2

$2$ .

\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})

$\sin (\frac{\frac{7 π}{6}}{2})$

Etapa 6.2

Aplique a fórmula do arco metade do seno.

\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}

$\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Etapa 6.3

Altere o

\pm

$\pm$ para

+

$+$ , porque o seno é positivo no segundo quadrante.

\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$

Etapa 6.4

Simplifique

\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{7 π}{6})}{2}}$ .

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Etapa 6.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

Etapa 6.4.2

O valor exato de

\cos (\frac{π}{6})

$\cos (\frac{π}{6})$ é

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 6.4.3

Multiplique

- - \frac{\sqrt{3}}{2}

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 6.4.3.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 6.4.3.2

Multiplique

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ por

1

$1$ .

\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 6.4.4

Escreva

1

$1$ como uma fração com um denominador comum.

\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 6.4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2}}$

Etapa 6.4.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.7

Multiplique

\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.4.7.1

Multiplique

\frac{2 + \sqrt{3}}{2}

$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ por

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

Etapa 6.4.7.2

Multiplique

2

$2$ por

2

$2$ .

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$

Etapa 6.4.8

Reescreva

\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}}$ como

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Etapa 6.4.9

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.9.1

Reescreva

4

$4$ como

2^{2}

$2^{2}$ .

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 6.4.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$

Forma decimal:

0.96592582 \dots

$0.96592582 \dots$