Trigonometria Exemplos

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

Etapa 1

Comece do lado direito.

$3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$

Etapa 2

Fatore $\sin (x)$ de $3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore $\sin (x)$ de $3 \sin (x)$ .

$\sin (x) \cdot 3 - 4 \sin^{3} (x)$

Etapa 2.2

Fatore $\sin (x)$ de $- 4 \sin^{3} (x)$ .

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$

Etapa 2.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ .

$\sin (x) (3 - 4 \sin^{2} (x))$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$\sin (x) (3 - 4 (1 - \cos^{2} (x)))$

Etapa 4

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) (3 - 4 \cdot 1 - 4 (- \cos^{2} (x)))$

Etapa 5

Simplifique cada termo.

$\sin (x) (3 - 4 + 4 \cos^{2} (x))$

Etapa 6

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 \cos^{2} (x))$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Mova $3$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$3 \cdot \sin (x) + \sin (x) \cdot - 4 + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

Etapa 7.1.2

Mova $- 4$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$3 \sin (x) - 4 \cdot \sin (x) + \sin (x) (4 {\cos (x)}^{2})$

Etapa 7.1.3

Mova $4$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$3 \sin (x) - 4 \sin (x) + 4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$

Etapa 7.2

Subtraia $4 \sin (x)$ de $3 \sin (x)$ .

$- \sin (x) + 4 \sin (x) \cos^{2} (x)$

Etapa 8

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x))$

Etapa 9

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1^{2} - \sin^{2} (x))$

Etapa 9.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$- \sin (x) + 4 \sin (x) ((1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 9.3

Remova os parênteses.

$- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Etapa 9.4

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin (x) + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

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Etapa 9.4.1

Fatore $\sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$\sin (x) \cdot - 1 + 4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$

Etapa 9.4.2

Fatore $\sin (x)$ de $4 \sin (x) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

Etapa 9.4.3

Fatore $\sin (x)$ de $\sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) ((4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$ .

$\sin (x) (- 1 + (4 (1 + \sin (x))) (1 - \sin (x)))$

Etapa 9.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) (- 1 + (4 \cdot 1 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 9.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$\sin (x) (- 1 + (4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x)))$

Etapa 9.7

Expanda $(4 + 4 \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 9.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

Etapa 9.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) (1 - \sin (x)))$

Etapa 9.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Etapa 9.8

Combine os termos opostos em $4 \cdot 1 + 4 (- \sin (x)) + 4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 9.8.1

Reorganize os fatores nos termos $4 (- \sin (x))$ e $4 \sin (x) \cdot 1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 4 \sin (x) + 1 \cdot 4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Etapa 9.8.2

Some $- 1 \cdot 4 \sin (x)$ e $1 \cdot 4 \sin (x)$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 0 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Etapa 9.8.3

Some $4 \cdot 1$ e $0$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 \cdot 1 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Etapa 9.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.9.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 + 4 \sin (x) (- \sin (x)))$

Etapa 9.9.2

Multiplique $4 \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Etapa 9.9.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin (x) \sin (x))$

Etapa 9.9.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x)))$

Etapa 9.9.2.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))$

Etapa 9.9.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 {\sin (x)}^{1 + 1})$

Etapa 9.9.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 - 4 \sin^{2} (x))$

Etapa 9.10

Fatore $4$ de $4$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) - 4 \sin^{2} (x))$

Etapa 9.11

Fatore $4$ de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x)))$

Etapa 9.12

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (x))$ .

$\sin (x) (- 1 + 4 (1 - \sin^{2} (x)))$

Etapa 9.13

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\sin (x) (- 1 + 4 \cos^{2} (x))$

Etapa 9.14

Fatore.

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Etapa 9.14.1

Reescreva $- 1 + 4 \cos^{2} (x)$ em uma forma fatorada.

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Etapa 9.14.1.1

Reescreva $4 \cos^{2} (x)$ como ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$\sin (x) (- 1 + {(2 \cos (x))}^{2})$

Etapa 9.14.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sin (x) (- 1^{2} + {(2 \cos (x))}^{2})$

Etapa 9.14.1.3

Reordene $- 1^{2}$ e ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$\sin (x) ({(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2})$

Etapa 9.14.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 \cos (x)$ e $b = 1$ .

$\sin (x) ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1))$

Etapa 9.14.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\sin (x) (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1)$

Etapa 10

Aplique a propriedade distributiva.

$(\sin (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) \cdot 1) (2 \cos (x) - 1)$

Etapa 11

Simplifique cada termo.

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x) - 1)$

Etapa 12

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Etapa 13.1.2

Multiplique $2 \sin (x) \cos (x) (2 \cos (x))$ .

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Etapa 13.1.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Etapa 13.1.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} \cos (x)) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Etapa 13.1.2.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$4 \sin (x) ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}) + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Etapa 13.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Etapa 13.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + \sin (x) (2 \cos (x)) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Etapa 13.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + (2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x)) \cdot - 1$

Etapa 13.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) \cdot - 1 + \sin (x) \cdot - 1$

Etapa 13.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1$

Etapa 13.1.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x)$

Etapa 13.1.7

Reescreva $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) - \sin (x)$

Etapa 13.2

Subtraia $2 \sin (x) \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$4 \sin (x) {\cos (x)}^{2} + 0 - \sin (x)$

Etapa 13.3

Some $4 \sin (x) {\cos (x)}^{2}$ e $0$ .

$4 \sin (x) \cos^{2} (x) - \sin (x)$

Etapa 14

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$4 \sin (x) (1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x)$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \sin (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

Etapa 15.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 \sin (x) + 4 \sin (x) (- {\sin (x)}^{2}) - \sin (x)$

Etapa 15.1.3

Multiplique $\sin (x)$ por ${\sin (x)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.1.3.1

Mova ${\sin (x)}^{2}$ .

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} \sin (x)) \cdot - 1 - \sin (x)$

Etapa 15.1.3.2

Multiplique ${\sin (x)}^{2}$ por $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.3.2.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$4 \sin (x) + 4 ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{1}) \cdot - 1 - \sin (x)$

Etapa 15.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1 - \sin (x)$

Etapa 15.1.3.3

Some $2$ e $1$ .

$4 \sin (x) + 4 {\sin (x)}^{3} \cdot - 1 - \sin (x)$

Etapa 15.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 \sin (x) - 4 {\sin (x)}^{3} - \sin (x)$

Etapa 15.2

Subtraia $\sin (x)$ de $4 \sin (x)$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x)$

Etapa 16

Aplique a fórmula do arco triplo do seno.

$\sin (3 x)$

Etapa 17

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\sin (3 x) = 3 \sin (x) - 4 \sin^{3} (x)$ é uma identidade