Trigonometria Exemplos

$\sin (\frac{43 π}{12})$

Etapa 1

Primeiro, divida o ângulo em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos. Neste caso, $\frac{43 π}{12}$ pode ser dividido em $\frac{10 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\sin (\frac{10 π}{3} + \frac{π}{4})$

Etapa 2

Use a fórmula da soma do seno para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\sin (\frac{10 π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 3

Remova os parênteses.

$\sin (\frac{10 π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\sin (\frac{4 π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$- \sin (\frac{π}{3}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.5

Multiplique $- \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 4.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.5.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.5.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.5.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \cos (\frac{10 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.6

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} + \cos (\frac{4 π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \cos (\frac{π}{3}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.8

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 4.9

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4.10

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 4.10.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 5.2

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{6}$ .

$\frac{- (\sqrt{6}) - \sqrt{2}}{4}$

Etapa 5.3

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- (\sqrt{6}) - (\sqrt{2})}{4}$

Etapa 5.4

Fatore $- 1$ de $- (\sqrt{6}) - (\sqrt{2})$ .

$\frac{- (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Etapa 5.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.5.1

Reescreva $- (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ como $- 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ .

$\frac{- 1 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4}$

Etapa 5.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Forma decimal:

$- 0.96592582 \dots$