Trigonometria Exemplos

$\tan (x) \geq \sqrt{3}$

Etapa 1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x \geq \arctan (\sqrt{3})$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

O valor exato de $\arctan (\sqrt{3})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x \geq \frac{π}{3}$

Etapa 3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Etapa 4

Simplifique $π + \frac{π}{3}$ .

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Etapa 4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 4.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.1

Combine $π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Etapa 4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Etapa 4.3.2

Some $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\tan (x) - \sqrt{3}$ .

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Etapa 8.1

Defina o argumento em $\tan (x)$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{4 π}{3}$

Etapa 10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 10.1

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.1.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 1.31$

Etapa 10.1.2

Substitua $x$ por $1.31$ na desigualdade original.

$\tan (1.31) \geq \sqrt{3}$

Etapa 10.1.3

O lado esquerdo $3.74708097$ é maior do que o lado direito $1.7320508$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 10.2

Teste um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{4 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 10.2.1

Escolha um valor no intervalo $\frac{π}{2} < x < \frac{4 π}{3}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 10.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\tan (3) \geq \sqrt{3}$

Etapa 10.2.3

O lado esquerdo $- 0.14254654$ é menor do que o lado direito $1.7320508$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 10.3

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{π}{2} < x < \frac{4 π}{3}$ Falso

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Verdadeiro

$\frac{π}{2} < x < \frac{4 π}{3}$ Falso

Etapa 11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$\frac{π}{3} + π n \leq x < \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Converta a desigualdade em notação de intervalo.

$[\frac{π}{3} + π n, \frac{π}{2} + π n)$

Etapa 13