Trigonometria Exemplos

$\sec^{2} (x) - \sec (x) = 2$

Etapa 1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\sec^{2} (x) - \sec (x) - 2 = 0$

Etapa 2

Fatore $\sec^{2} (x) - \sec (x) - 2$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(\sec (x) - 2) (\sec (x) + 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

$\sec (x) + 1 = 0$

Etapa 4

Defina $\sec (x) - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $\sec (x) - 2$ como igual a $0$ .

$\sec (x) - 2 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $\sec (x) - 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$\sec (x) = 2$

Etapa 4.2.2

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (2)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

O valor exato de $arcsec (2)$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 4.2.4

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 4.2.5

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 4.2.5.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 4.2.5.2

Combine frações.

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Etapa 4.2.5.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 4.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 4.2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.5.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 4.2.5.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 4.2.6

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 4.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 4.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 4.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 4.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 4.2.7

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5

Defina $\sec (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\sec (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\sec (x) + 1 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\sec (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sec (x) = - 1$

Etapa 5.2.2

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (- 1)$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

O valor exato de $arcsec (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 5.2.4

A função secante é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 5.2.5

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 5.2.6

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 5.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.2.7

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(\sec (x) - 2) (\sec (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$