Trigonometria Exemplos

$\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$

Etapa 1

Eleve os dois lados da equação ao quadrado.

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2} = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2

Simplifique ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva ${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$ como $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.2

Expanda $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) + \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x) + \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $\cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.2.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.3.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.3.2

Reordene os fatores de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.3.3

Some $\cos (x) \sin (x)$ e $\cos (x) \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.4

Mova $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$1 + 2 \cos (x) \sin (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.6.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$1 + \sin (x) (2 \cos (x)) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.6.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 2.6.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$1 + \sin (2 x) = {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \sin (2 x) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum.

$1 + \sin (2 x) = 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 3.4.2

Reescreva a expressão.

$1 + \sin (2 x) = 2^{1}$

Etapa 3.5

Avalie o expoente.

$1 + \sin (2 x) = 2$

Etapa 4

Mova todos os termos que não contêm $\sin (2 x)$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (2 x) = 2 - 1$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\sin (2 x) = 1$

Etapa 5

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$2 x = \arcsin (1)$

Etapa 6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 7

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 7.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 7.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 7.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 8

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 9

Resolva $x$ .

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.2

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 9.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 9.1.4

Subtraia $π$ de $π \cdot 2$ .

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Etapa 9.1.4.1

Reordene $π$ e $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 9.1.4.2

Subtraia $π$ de $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Etapa 9.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 9.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 9.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 9.2.3.2

Multiplique $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 9.2.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 9.2.3.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 10

Encontre o período de $\sin (2 x)$ .

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Etapa 10.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Etapa 10.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 π}{2}$

Etapa 10.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 11

O período da função $\sin (2 x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Verifique as soluções, substituindo-as em $\sin (x) + \cos (x) = \sqrt{2}$ e resolvendo.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$