Trigonometria Exemplos

$\sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.1.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos.

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.1.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.1.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.1.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.1.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.1.7.1.2

Multiplique $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.1.7.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.1.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{2 π}{3}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2}) + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Etapa 1.4.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Etapa 1.5.1

Divida $\frac{π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5.2

Aplique a fórmula da diferença dos ângulos $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5.7

Simplifique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.5.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.5.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5.7.1.1.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 1.5.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.5.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.8

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 1.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.8.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \sqrt{3}}{8}$

Etapa 1.9

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6} \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8}$

Etapa 1.10

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{3}}{8}$

Etapa 1.11

Combine usando a regra do produto para radicais.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{6 \cdot 3} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Etapa 1.12

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.12.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{18} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Etapa 1.12.2

Reescreva $18$ como $3^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 1.12.2.1

Fatore $9$ de $18$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{9 (2)} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Etapa 1.12.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Etapa 1.12.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 3}}{8}$

Etapa 1.12.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{8} + \frac{3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Etapa 2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- \sqrt{6} - - \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Etapa 3.2

Multiplique $- - \sqrt{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + 1 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{6} + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + \sqrt{6}}{8}$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Some $- \sqrt{6}$ e $\sqrt{6}$ .

$\frac{0 + \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 4.2

Some $0$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 4.3

Some $\sqrt{2}$ e $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{8}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{2}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2})}{8}$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$