Trigonometria Exemplos

$\cos (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \csc (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\cos (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Etapa 2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cot (x))$

Etapa 2.1.2

Reescreva $\cot (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.3.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x) + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.4

Multiplique $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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Etapa 2.4.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.4.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.4.3

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (x) + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Etapa 2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental inversa.

$\sin (x) + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\sin (x) + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)}$

Etapa 4.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 4.2

Para escrever $\sin (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (x) \sin (x) + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}$

Etapa 4.4

Simplifique o numerador.

$\frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 5

Reescreva $\frac{1}{\sin (x)}$ como $\csc (x)$ .

$\csc (x)$

Etapa 6

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\cos (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \csc (x)$ é uma identidade