Trigonometria Exemplos

$\cos (\frac{5 π}{12}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (\frac{5 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida $\frac{5 π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.7

Simplifique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.1.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.7.1.1.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.7.1.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.7.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.7.1.2

Multiplique $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.7.1.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.1.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.6

Multiplique $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.6.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.6.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 2} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{12} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.7.2

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.7.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.7.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.7.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.7.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.7.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.7.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.7.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{3} - 2^{1}}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.7.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.7.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3} - 2}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.8

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{3} - 2$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) - 2}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.8.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.8.3

Fatore $2$ de $2 (\sqrt{3}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{8} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.8.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 (4)} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.8.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{2 \cdot 4} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.8.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \sin (\frac{5 π}{12}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9

O valor exato de $\sin (\frac{5 π}{12})$ é $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.1

Divida $\frac{5 π}{12}$ em dois ângulos em que os valores das seis funções trigonométricas sejam conhecidos.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9.2

Aplique a fórmula da soma dos ângulos.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{6})$ é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4})) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9.7

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.7.1.1

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.7.1.1.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9.7.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9.7.1.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.9.7.1.2.1

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{2}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9.7.1.2.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9.7.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9.7.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}) \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.9.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 1.10

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 1.11

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \sqrt{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.11.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \sqrt{2}}{8}$

Etapa 1.12

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 1.13

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{8}$

Etapa 1.14

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Etapa 1.15

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.15.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{4} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Etapa 1.15.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{\sqrt{2^{2}} + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Etapa 1.15.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{6 \cdot 2}}{8}$

Etapa 1.15.4

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{12}}{8}$

Etapa 1.15.5

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.15.5.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{4 (3)}}{8}$

Etapa 1.15.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{8}$

Etapa 1.15.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 + 2 \sqrt{3}}{8}$

Etapa 1.16

Cancele o fator comum de $2 + 2 \sqrt{3}$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.16.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot 1 + 2 \sqrt{3}}{8}$

Etapa 1.16.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})}{8}$

Etapa 1.16.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 1 + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{8}$

Etapa 1.16.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.16.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 (4)}$

Etapa 1.16.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{2 \cdot (1 + \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.16.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{4} + \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{3} - 1 + 1 + \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.2

Some $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\frac{- 1 + 1 + 2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.3

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0 + 2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.3.2

Some $0$ e $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Etapa 2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Forma decimal:

$0.86602540 \dots$