Trigonometria Exemplos

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \sec (x) - \tan (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Etapa 2

Multiplique $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ por $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Etapa 3

Combine.

$\frac{\cos (x) (1 - \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 4.2

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\frac{\cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 4.3

Reordene os fatores em $\cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Expanda $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{1 (1 - \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Etapa 5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) (1 - \sin (x))}$

Etapa 5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (x)) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \sin (x))}$

Etapa 5.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Etapa 6

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\cos (x) - \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) - \cos (x) \sin (x)$ .

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Etapa 7.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.2

Fatore $\cos (x)$ de $- \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 7.1.3

Fatore $\cos (x)$ de $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Etapa 7.2

Cancele os fatores comuns.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8

Agora, considere o lado direito da equação.

$\sec (x) - \tan (x)$

Etapa 9

Converta em senos e cossenos.

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Etapa 9.1

Aplique a identidade recíproca a $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)$

Etapa 9.2

Escreva $\tan (x)$ nos senos e cossenos usando a fórmula do quociente.

$\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 11

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} = \sec (x) - \tan (x)$ é uma identidade