Trigonometria Exemplos

$1 + \sin (x) = 2 \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = 2 \cos^{2} (x) - 1$

Etapa 2

Eleve os dois lados da equação ao quadrado.

$\sin^{2} (x) = {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$

Etapa 3

Aplique a fórmula do arco duplo do cosseno.

$\sin^{2} (x) = \cos^{2} (2 x)$

Etapa 4

Subtraia $\cos^{2} (2 x)$ dos dois lados da equação.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (2 x) = 0$

Etapa 5

Simplifique o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sin (x)$ e $b = \cos (2 x)$ .

$(\sin (x) + \cos (2 x)) (\sin (x) - \cos (2 x)) = 0$

Etapa 5.2

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - \cos (2 x)) = 0$

Etapa 5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Etapa 5.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x))) = 0$

Etapa 5.3.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.4

Expanda $(\sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) (\sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x))$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) (2 \sin^{2} (x)) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.5.1

Combine os termos opostos em $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + \sin (x) (2 \sin^{2} (x)) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x))$ .

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Etapa 5.5.1.1

Reorganize os fatores nos termos $\sin (x) (2 \sin^{2} (x))$ e $- 2 \sin^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 2 \sin^{2} (x) \sin (x) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.1.2

Subtraia $2 \sin^{2} (x) \sin (x)$ de $2 \sin^{2} (x) \sin (x)$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) + 0 - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.1.3

Some $\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x))$ e $0$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.2.1

Multiplique $\sin (x) \sin (x)$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2.1.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 1 + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) - 1 \cdot \sin (x) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2.3

Reescreva $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) + 1 \cdot - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 1 (2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2.6

Multiplique $2 \sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cdot - 1 - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2.7

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) (2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (2 \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2.9

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $\sin^{2} (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 5.5.2.9.1

Mova $\sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (2 (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))) = 0$

Etapa 5.5.2.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (2 {\sin (x)}^{2 + 2}) = 0$

Etapa 5.5.2.9.3

Some $2$ e $2$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 2 \cdot (2 \sin^{4} (x)) = 0$

Etapa 5.5.2.10

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Etapa 5.5.3

Simplifique somando os termos.

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Etapa 5.5.3.1

Combine os termos opostos em $\sin^{2} (x) - \sin (x) + \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x)$ .

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Etapa 5.5.3.1.1

Some $- \sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin^{2} (x) + 0 - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Etapa 5.5.3.1.2

Some $\sin^{2} (x)$ e $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Etapa 5.5.3.2

Some $\sin^{2} (x)$ e $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 3 \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Etapa 5.5.3.3

Some $3 \sin^{2} (x)$ e $2 \sin^{2} (x)$ .

$- 1 + 5 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x) = 0$

Etapa 6

Fatore $- 1 + 5 \sin^{2} (x) - 4 \sin^{4} (x)$ .

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Etapa 6.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.1.1

Reordene os termos.

$- 4 \sin^{4} (x) + 5 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 6.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $5$ de $5 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{4} (x) + 5 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 6.1.2.2

Reescreva $5$ como $1$ mais $4$

$- 4 \sin^{4} (x) + (1 + 4) \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 6.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 \sin^{4} (x) + 1 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 6.1.2.4

Multiplique $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$- 4 \sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 6.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- 4 \sin^{4} (x) + \sin^{2} (x) + 4 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Etapa 6.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\sin^{2} (x) (- 4 \sin^{2} (x) + 1) - (- 4 \sin^{2} (x) + 1) = 0$

Etapa 6.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 4 \sin^{2} (x) + 1$ .

$(- 4 \sin^{2} (x) + 1) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 6.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(- 4 \sin^{2} (x) + 1^{2}) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 6.3

Reescreva $4 \sin^{2} (x)$ como ${(2 \sin (x))}^{2}$ .

$(- {(2 \sin (x))}^{2} + 1^{2}) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 6.4

Reordene $- {(2 \sin (x))}^{2}$ e $1^{2}$ .

$(1^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 6.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = 2 \sin (x)$ .

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - (2 \sin (x))) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) (\sin^{2} (x) - 1) = 0$

Etapa 6.7

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) (\sin^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Etapa 6.8

Fatore.

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Etapa 6.8.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sin (x)$ e $b = 1$ .

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) ((\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1)) = 0$

Etapa 6.8.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Etapa 8

Defina $1 + 2 \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $1 + 2 \sin (x)$ como igual a $0$ .

$1 + 2 \sin (x) = 0$

Etapa 8.2

Resolva $1 + 2 \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 8.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = - 1$

Etapa 8.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 8.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 8.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 8.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 8.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 8.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Etapa 8.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ é $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Etapa 8.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Etapa 8.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 8.2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Etapa 8.2.6.2

O ângulo resultante de $\frac{7 π}{6}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 8.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 8.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 8.2.8

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 8.2.8.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{6}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Etapa 8.2.8.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 8.2.8.3

Combine frações.

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Etapa 8.2.8.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 8.2.8.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 8.2.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.8.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Etapa 8.2.8.4.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 8.2.8.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 8.2.9

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Defina $1 - 2 \sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 9.1

Defina $1 - 2 \sin (x)$ como igual a $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 9.2

Resolva $1 - 2 \sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 9.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Etapa 9.2.2

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 9.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 9.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 9.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 9.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 9.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 9.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 9.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 9.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 9.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 9.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 9.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.6.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 9.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 9.2.7

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 9.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Defina $\sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $\sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 10.2

Resolva $\sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = - 1$

Etapa 10.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 10.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 10.2.4

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 10.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 10.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 10.2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 10.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 10.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 10.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 10.2.7

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.7.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 10.2.7.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 10.2.7.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.7.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 10.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 10.2.7.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.7.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 10.2.7.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 10.2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 10.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Defina $\sin (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Defina $\sin (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Etapa 11.2

Resolva $\sin (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\sin (x) = 1$

Etapa 11.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (1)$

Etapa 11.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 11.2.4

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Etapa 11.2.5

Simplifique $π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 11.2.5.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 11.2.5.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 11.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 11.2.5.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Etapa 11.2.5.3.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 11.2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 11.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 11.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11.2.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $(1 + 2 \sin (x)) (1 - 2 \sin (x)) (\sin (x) + 1) (\sin (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Verifique as soluções, substituindo-as em $1 + \sin (x) = 2 \cos^{2} (x)$ e resolvendo.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$