Trigonometria Exemplos

$z = 2 - 2 i$

Etapa 1

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que $| z |$ é o módulo, e $θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 2

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que $z = a + b i$

Etapa 3

Substitua os valores reais de $a = 2$ e $b = - 2$ .

$| z | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 2^{2}}$

Etapa 4

Encontre $| z |$ .

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Etapa 4.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 2^{2}}$

Etapa 4.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

Etapa 4.3

Some $4$ e $4$ .

$| z | = \sqrt{8}$

Etapa 4.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

Etapa 4.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 4.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$| z | = 2 \sqrt{2}$

Etapa 5

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

$θ = \arctan (\frac{- 2}{2})$

Etapa 6

Como a tangente inversa de $\frac{- 2}{2}$ produz um ângulo no quarto quadrante, o valor do ângulo é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 7

Substitua os valores de $θ = - \frac{π}{4}$ e $| z | = 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$

Etapa 8

Substitua o lado direito da equação pela forma trigonométrica.

$z = 2 \sqrt{2} (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$