Trigonometria Exemplos

$\ln (x - 6) + \ln (x - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 6) (x - 5)) = \ln (16 - 2 x)$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 6) (x - 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x (x - 5) - 6 (x - 5)) = \ln (16 - 2 x)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 - 6 (x - 5)) = \ln (16 - 2 x)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot - 5 - 6 x - 6 \cdot - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$\ln (x^{2} - 5 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 5) = \ln (16 - 2 x)$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 6$ por $- 5$ .

$\ln (x^{2} - 5 x - 6 x + 30) = \ln (16 - 2 x)$

Etapa 1.3.2

Subtraia $6 x$ de $- 5 x$ .

$\ln (x^{2} - 11 x + 30) = \ln (16 - 2 x)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{2} - 11 x + 30 = 16 - 2 x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1.1

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 11 x + 30 + 2 x = 16$

Etapa 3.1.2

Some $- 11 x$ e $2 x$ .

$x^{2} - 9 x + 30 = 16$

Etapa 3.2

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 9 x + 30 - 16 = 0$

Etapa 3.3

Subtraia $16$ de $30$ .

$x^{2} - 9 x + 14 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $x^{2} - 9 x + 14$ usando o método AC.

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Etapa 3.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $14$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 7, - 2$

Etapa 3.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 7) (x - 2) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 3.6

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 3.7

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.7.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, 2$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\ln (x - 6) + \ln (x - 5) = \ln (16 - 2 x)$ verdadeira.

$x = 7$