Trigonometria Exemplos

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$

Etapa 1

Comece do lado esquerdo.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 2

Some as frações.

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Etapa 2.1

Para escrever $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$

Etapa 2.2

Para escrever $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Etapa 2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ por $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Etapa 2.3.2

Multiplique $\frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)}$ por $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 2.3.3

Reordene os fatores de $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{\sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sin (x) (1 + \cos (x)) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3.1.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3.2

Some $\sin (x)$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) + \sin (x) (- \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3.3

Some $\sin (x) \cos (x)$ e $\sin (x) (- \cos (x))$ .

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Etapa 3.3.1

Reordene $\sin (x)$ e $- 1$ .

$\frac{2 \sin (x) + \sin (x) \cos (x) - 1 \cdot \sin (x) \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3.3.2

Subtraia $\sin (x) \cos (x)$ de $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{2 \sin (x) + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 3.4

Some $2 \sin (x)$ e $0$ .

$\frac{2 \sin (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Expanda $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \sin (x)}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Etapa 4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Etapa 4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

$\frac{2 \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{2 \sin (x)}{\sin^{2} (x)}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ e ${\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{2}{\sin (x)}$

Etapa 7

Reescreva $\frac{2}{\sin (x)}$ como $2 \csc (x)$ .

$2 \csc (x)$

Etapa 8

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} = 2 \csc (x)$ é uma identidade